8函数的奇偶性

函数的奇偶性点此播放讲课视频教材分析目的分析方法分析过程分析四一二三人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》设计说明五人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》1.教材的地位与作用本节内容是新课标人教B版《数学必修1》第二章“函数”第四节的教学内容.函数的奇偶性是函数的一条重要性质，从知识结构上看，函数的奇偶性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等内容的基础，在研究各种具体函数的性质、解决各种问题中都有广泛的应用.教材分析一点此播放讲课视频人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》按照新课程教学理念，“数学教学是数学活动的教学.在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身心获得一定的发展，形成良好的思想品质.”数学课已不仅仅是一些数学知识的学习，更要体现知识的认识和发展过程，同时要根据教学需要，关注学生已有的知识基础和学习经验.高一学生对函数图像的对称性已具备了初步认识，教学中从观察实例开始，先观察函数图象的对称性，再作图，分析函数值表格，逐步领悟图形对称、点对称、数相等、式相等之间的关系，这样建立函数奇偶性的概念就水到渠成了.教学中渗透了数形结合的思想方法.精心设计问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生积极探索，在探索过程中获得对数学的积极体验和应用.是本节课关键.2.学情分析教材分析一人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》二目的分析1.教学目标[知识目标]使学生理解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一些简单函数的奇偶性[能力目标]通过设置问题情境培养学生判断、观察、归纳、推理的能力.在概念形成过程中,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.[情感目标]通过绘制和展示优美的函数图像来陶冶学生的情操.使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》二目的分析教学重点教学难点函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性对函数奇偶性概念的理解与认识2.重点与难点人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》教学过程三方法分析•根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅。教学中，我设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方法。•根据建构理论与新课程教学理念，我注意结合学生所熟悉的生活实例、已掌握的对称函数的图象，让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。•为了更好的把握教学内容的整体性和联系性，在教学中应启发引导，以问题为核心构建课堂教学，让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》4四过程分析设问激疑，创设情景概括猜想，揭示内涵讨论归纳，形成定义强化定义，深化内涵布置作业，回归拓展概念辨析，升华提高讲练结合，巩固新知课时小结，知识建构•从生活中这些图片中你感受到了什么人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》1.设问激疑，创设情景四过程分析人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》•这些几何图形中又体现了什么通过实际生活中的例子，让学生对对称有一个初步的感性认识，为下一步对概念的理性认识做好铺垫。让学生感受到函数奇偶性和我们的生活密切相关，进而激发学生的兴趣.【设计意图】1.设问激疑，创设情景四过程分析观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类Oxy①2)(xxf②Oxyxxf)(③Oxy||)(xxf④Oxy||1)(xxfOxy⑤3)(xxf这些函数图像体现着哪种对称的美呢？人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》设计意图：培养学生由感性到理性的观察思维能力，同时导入新课1.设问激疑，创设情景四过程分析（-3，3）（3，3）…－3－2－10123……3210123…当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)2.概括猜想，揭示内涵人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》x||xy作出函数的图像,再观察表格，你看出了什么？||xy设计意图：锻炼学生的动手能力，学生对图像的认识由感性上升到理性，恰当地运用信息技术，使得这个抽象的问题变得形象直观。让学生获得对函数奇偶性由“形”到“数”的认识。四过程分析(-a,a2)(a,a2)作出函数f(x)=x2图象，再观察表，你看出了什么？f(1)f(-1)=1=1f(a)f(-a)=a2=a2f(2)f(-2)=4=4猜想:f(-x)____f(x)=…－3－2－10123……9410149…x2yx人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》设计意图：通过特殊值让学生认识两个函数的对称性实质：是自变量互为相反数时，函数值相等这两种关系。2.概括猜想，揭示内涵四过程分析结论：当自变量x在定义域内任取一对相反数时，相应的两个函数值相同；即：f(-x)=f(x)xP(x,f(x))P/(-x,f(x))-xP/(-x,f(-x))f(-x)=f(x)Oxy人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》设计意图：数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难教、难学，以学生们熟悉的函数y=|x|和y=x2为切入点，既做到了“直观、具体”，又满足了课堂教学需要。2.概括猜想，揭示内涵四过程分析人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》观察下面的函数图象，是否关于关于y轴对称？a如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它的定义域应该有什么特点？定义域应该关于原点对称.设计意图：在概念教学中，通过反例出现的不完整性与直观引起矛盾，这里单独列出作为一个教学步骤，是想突出这个中心环节，并有意识地训练学生依据知觉中的分散的已知知识给概念下定义的创造能力。到此给对象（偶函数）以明确的定义是水到渠成2.概括猜想，揭示内涵四过程分析图象关于y轴对称f(-x)=f(x)偶函数请同学们考察：图象关于原点中心对称的函数与函数式有怎样的关系？3.讨论归纳，形成定义•偶函数定义：设函数的定义域为，如果对定义域内的任意一个都有，且，则这个函数叫做偶函数.)(xfyDxDx)()(xfxfD四过程分析人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于定义域内任意的一个x,都有f(-x)=-f(x),这时我们称这样的函数为奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)函数值的特征探索你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？(1)函数与函数图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？xxf)(xxf1)(f(-x)=-x=-f(x)f(-x)=-1/x=-f(x)3.讨论归纳，形成定义四过程分析人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》设计意图：这一问题的解决放手给学生，获得结论，教师借助于多媒体动画演示。目的是进一步理解奇偶性概念形成过程，从中培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法，从知识体系的高度加深理解函数的奇偶性。这种设计凸显学生的主体地位。符合接受性原则和知识建构的要求，从而突出重点，突破难点•奇函数定义：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且,则这个函数叫奇函数.)(xfyDDxDx)()(xfxf图象关于原点对称f(-x)=-f(x)奇函数设计意图：让学生自己通过类比的方法探究奇函数定义，一方面加深学生对知识的认识，另一方面充分调动学生学习的主动性，培养学生合作探究的能力。3.讨论归纳，形成定义四过程分析人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》（1）如何理解函数的奇偶性定义域内“任意”一个x？（2）试讨论：奇函数和偶函数的定义域的特征.（3）判断函数奇偶性的方法和步骤是什么？4.强化定义，深化内涵四过程分析人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1)函数具有奇偶性：定义域关于原点对称。对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(2)若f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立.若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立.(3)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.函数的奇偶性是函数的整体性质；既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.图象关于原点对称图象关于y轴对称人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》设计意图：帮助学生完善奇偶函数的定义xo[a,b][-b,-a]4.强化定义，深化内涵四过程分析练习:说出下列函数的奇偶性:①f(x)=x4________③f(x)=x________④f(x)=x-2__________⑤f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________②f(x)=x-1__________奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数对于形如f(x)=xn()的函数，在定义域R内:若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。Zn例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+x(2)f(x)=3x4+6x2+a解:定义域为R∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数解:定义域为R∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2+a=3x4+6x2+a即f(-x)=f(x)∴f(x)为偶函数说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.⑵再判断f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.11)()4(1)()3(2xxfxxxf为奇函数即解：定义域是xfxfxfxxxxxfoxx)1(1)(为偶函数即）（解：定义域是xfxfxfxxxfR1111)(22思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？xy012f(x)=2x+1-1分析：函数的定义域为R但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。(1)f(x)=(2)f(x)=x2x∈[-4,4)解:∵定义域不关于原点对称或∵f(-4)=(-4)2=16;f(4)在定义域里没有意义.∴f(x)为非奇非偶函数x解:定义域为[0,+∞)∵定义域不关于原点对称∴f(x)为非奇非偶函数思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？思考3：在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？有。例如：函数f(x)=0是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。xy01f(x)=0-1奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数根据奇偶性,函数可划分为四类:本课小结:两个定义:对于函数f(x)定义域内的任意一个x两个步骤:（判断函数的奇偶性）如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数。（1）先求出定义域，看定义域是否关于原点对称（2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。例1.用定义判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x+x3+x5(2)f(x)=x2+1(3)f(x)=x+1(4)f(x)=x2x