2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题

2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题1、两个子空间的直和例：设1V和2V分别是齐次方程组12...0nxxx和12...nxxx的解空间，证明12VVV。证明：因方程组12...0nxxx和12...nxxx，只有零解，故120VV，从而21VV=21VV，且21VV是V的子空间，即21VV≤V。又1V的维数是n-1，2V的维数是1故21VV的维数是n维，所以12VVV。注：任给一个V的子空间1V，可以找到子空间2V使得：12VVV此式称为V的一个直和分解，1V，2V称为互补空间2、线性空间中线性变换的象空间与核例题1:证明：线性空间V的线性变换T的象空间和核都是V的子空间证明：V(),,,,()()()()()V0ker()ker(),ker(),0,0()0,ker()(),ker()ker()VTVxyVPxyVxVTxTyTxyTVTxTxTVTVTTxyTPTxTyTxyTxTyxyTTxTxxTT因为非空，所以非空故是是的线性子空间因为所以非空因为所以非空则于是故故因此是的线性子空间。例题2:线性空间V中的线性变化T的象空间和核的维数之和等于V的维数dim(T(V))+dim(ker(T))=dim(V)证明：设dim(V)=ndim(ker(T))=s只需证明dim(T(V))=n-s即可取ker(T)的一组基12s,,...,xxx再添加n-s个向量将这组向量扩充为V的一组基12s122,,...,,,,...,,sssxxxyyy112211nn112211nn11nn111...............(){,,...,}sssssssssssssxVxxxxyyTxTxTxTxTyTyTyTyTVSpanTyTyTy对则现在只需证明12,,...,ssnTyTyTy线性无关。设1122...0ssssnnkTykTykTy则：1122(...)=0ssssnnTkykyky故1122...ker()ssssnnkTykTykTyT于是1122...ssssnnkykyky可由12,,...,sxxx线性表示即11221122......ssssnnsskykykylxlxlx故有11221122......0ssssssnnlxlxlxkykyky因121,,,,,...,...ssnxxxyy是V的一组基，所以121......0snllkk因此12,,...,ssnTyTyTy线性无关3、过渡矩阵线性变换在给定基下的矩阵例题：已知3中的线性变换T在基TTT0,1,1,1,0,-1,1,1,1-321下的矩阵是121011101求T在基TTTeee)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321下的矩阵。解：设基123,,到123,,eee的过度矩阵为Q则123123,,,,eeeQ即：100110010101001111Q所以1110111101011111101Q所以T在基123,,eee下的矩阵B为1101110121BQQ1101011111011100111111211011122203024、定理:内积空间中必存在标准正交基（施密特正交化）例：设12345,,,,eeeee是5中的一组标准正交基123,,VSpan其中11521243123,,2eeeeeeee求V的一组标准正交基解：设1122330kkk，即有123123233241520kkkekkekekeke因为12345,,,,eeeee线性无关，故1230kkk因此123,,线性无关，所以123,,是V的一组基。现将其化为标准正交基，首先将其正交化取21313211152213312111122,,,,,,,,ee124152124151515111124151245222,,=eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee111231245123152231231511111515124512452222212315212352,2,2,,2eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee再将其单位化11111521112212124510222331312352333,(22),,eeeeeeeeee5、正交矩阵与酉矩阵的性质与判定例1：设是n维欧氏空间V中的单位向量，定义V中的变换T为2,Txxx。证明T为正交变换证明：,,xyV()()2(,)()2[(,)(,)][2(,)][2(,)]()2(,)2(,)[2(,)]TxyxyxyxyxyxxyyTxTyTxxxxxxxTx故T是V的线性变换222222(,)(2(,),2(,))(,),2(,)(2(,),)(2(,),2(,))(,)2(,)(,)2(,)(,)4(,)(,)(,)2(,)2(,)4(,)(,)xVTxTxTxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx故22Txx，所以T是正交变换例2证明：n阶的方阵A为酉矩阵的充要条件是对任何nx都有Axx证明：（必要性）注：酉矩阵HHAAAAE若A是酉矩阵，则对2(,)()()nHxAxAxAxAxAx有22()()(,)HHHHHHAxxAAxxAAxxExxxxxx则Axx(充分性)取n中的一组标准正交基12(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1),TTTneee则存在唯一的线性变换T，使得T在基12,,...,neee下的矩阵是A即：1212(,,...,)(,,...,)nnTeeeeeeA（证明T是正交变换）121212,(,,...,)(,,...,)(,,...,),nTnnnxxxxxTeeexeeeAxTxAxAxxTxx又故因此T是正交变换，从而A是酉矩阵。6、矩阵A的约当标准形（初等因子和不变因子）例题：求矩阵211212112A都的约当标准形、不变因子、初等因子。解：2)1(,2,2)2(,2)2(,)1(000100013410221000134102210211112212211211212112323231312131231cccrrccccrrrrrrAE故A的不变因子是1，1，2)1(初等因子是1，21因1对应的约当块121对应的约当块1011故A的约当标准形为100110001J或100010011J求约当标准形的步骤：①写出A的特征矩阵AE②求出AE的全部初等因子③写出每个初等因子对应的约当块④写出约当标准形7、凯莱-哈密顿定理例题：设5211A，证明：EAAAAB36291922234为可逆矩阵并将1B表示为A的多项式。证明：A的特征多项式为7652112AEf由凯莱-哈密顿定理得：243222432222221670{,0}21219293625671212121929362526140,670()6()78140814fAAAEfEAfABAAAAEAfAAEAEBBABEfAAAEBEBEEBBEBBE。则因故。因为所以可逆。将代入中得：141111414(8)(8)(7)BBEEBBEAE故8、线性空间的范数没有例子就把定义搬上了定义：设V是数域P上的线性空间，如果对V中的任意向量V都有一个非负实数与之对应，记为x且满足下列的性质1正定性：0,0xx当时2齐次性：,Pxx对3三角不等式：,,xyVxyxy称为x的x范数并称定义了范数的线性空间为赋范空间其他重要例题例题1:设12,,...,nxxx是数域P上的线性空间V的一组向量，则由他们的所有线性组合构成的集合1122...|,1,2,...,nniSxxxPin是V的子空间。证明：显然S非空，P1122nn...kkkSxxx1122nn...lllSxxx111222n()()...()nnklklklSxxx（()iiklP）1122n()()...()nkkkSxxx故S是V的子空间称S为由12n,,...,xxx生成的子空间记作12n,,...,SSpanxxx12n,,...,SSpanxxx①12n,,...,xxx的一个最大线性无关组就是12n,,...,Spanxxx的一组基②12n,,...,Spanxxx的维数=秩12n(,,...,)xxx例题2:在n维的向量空间n中，对向量1212(,,...,),(,,...,)TTnnxy定义1212,...Hnnxyyx其中Hy表示y的共轭转置则,xy为n中的内积1122nny12,,...,Hny1212,,...,Hnnyx验证：①11221122,......(,)nnnnyxxy②,xyz令12(,,...,)Tnz1122,,...,nnxy11122211221122,.........(,)(,)nnnnnnnxyzxzyz③1122,...nnxx22212...0n且22212,0...0nxx12...0nx