第33讲__周期函数与周期数列

第14讲周期函数与周期数列本节主要内容有周期；周期数列、周期函数．周期性是自然规律的重要体现之一，例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位．在数学中，我们就经常遇见各种三角函数，这类特殊的周期函数，特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声──不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们一定是一些简单的正弦周期函数的和．作为认识自然规律的主要手段，数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念．在中学数学中，我们仅仅讨论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性，尽管形式十分简单，但与之相关的问题仍有待研究．中学数学里称函数的周期，没有特殊说明是指其最小正周期．如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期．一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期．1．若f(x＋T)=－f(x)，则2T是f(x)的周期，即f(x＋2T)=f(x)证明：f(x＋2T)=f(x＋T＋T)=－f(x＋T)=f(x)，由周期函数的性质可得f(x＋2nT)=f(x)，(n∈Z)2．若f(x＋T)=±1f(x)，则2T是f(x)的周期，即f(x＋2T)=f(x)．仅以f(x＋T)=1f(x)证明如下：f(x＋2T)=f(x＋T＋T)=1f(x+T)=f(x)．由周期函数的性质可得f(x＋2nT)=f(x)，(n∈Z)3．在数列na中，如果存在非零常数T，使得mTmaa对于任意的非零自然数m均成立，那么就称数列na为周期数列，其中T叫数列na的周期．A类例题例1（2001年上海春季卷）若数列}{na前8项的值各异，且n8naa对任意的Nn都成立，则下列数列中可取遍}{na前8项值的数列为（）A．}{12kaB．}{13kaC．}{14kaD．}{16ka解析由数列{an}前8项的值各异，n8naa对任意n∈N＋都成立，得数列{an}的周期T=8，则问题转化为2k＋1，3k＋1，4k＋1，6k＋1中k=1，2，3，…代入被8除若余数能取到0，1，2，3，4，5，6，7即为答案．经检验3k＋1可以，故}{13ka可取遍{an}的前8项值．答案为B．说明本题还可以奇偶性的角度考虑，在2k＋1，3k＋1，4k＋1，6k＋1中，2k＋1，4k＋1，6k＋1都是奇数，除8后仍都是奇数，只有3k＋1除8后余数能取到0，1，2，3，4，5，6，7．例2定义在R上的奇函数且f(x＋2)=f(x－2)，且f(1)=2则f(2)＋f(7)=．解因为f(x＋2)=f(x－2)，知f(x＋2T)=f(x)．即f(x＋4)=f(x)．所以f(7)=f(3＋4)=f(－1＋4)=f(－1)=－f(1)=－2．f(－2)=f(－2＋4)=f(2)所以f(2)=0．从而f(2)＋f(7)=－2．链接若f(x＋T)=±f(x－T)，①f(x＋T)=f(x－T)，2T是f(x)的周期，即f(x＋2T)=f(x)证明：f(x＋2T)=f(x＋T＋T)=f(x＋T－T)=f(x)②f(x＋T)=－f(x－T)，4T是f(x)的周期，即f(x＋4T)=f(x)证明：f(x＋2T)=f(x＋T＋T)=－f[(x＋T)－T]=－f(x)所以由(一)可得f(x＋4T)=f(x)．情景再现1．已知函数f(x)对任意实数x，都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x)，求证:2|a－b|是f(x)的一个周期．(a≠b)2．已知数列{nx}满足x1=1，x2=6，11nnnxxx(n≥2)，求x2006及S2006．B类例题例3定义在R上的奇数满足f(1＋x)=f(1－x)，当5,4x时，f(x)=2x－4，则)0,1[x时f(x)=因为f(1＋x)=f(1－x)，f(x)=f(－x)，知f(x＋4)=f(x)，故当]1,0(x时，x＋45,4，f(x)=f(x＋4)=2x＋4－4=2x．又)0,1[x时，即－]1,0(x，所以f(x)=－f(－x)=－2－x()0,1[x)链接：若f(T＋x)=±f(T－x)，(1)f(T＋x)=f(T－x)①若f(x)是偶函数，则2T是f(x)的周期，即f(x＋2T)=f(x)②若f(x)是奇函数，则4T是f(x)的周期，即f(x＋4T)=f(x)(2)f(T＋x)=－f(T－x)①若f(x)是偶函数，则4T是f(x)的周期，即f(x＋4T)=f(x)②若f(x)是奇函数，则2T是f(x)的周期，即f(x＋2T)=f(x)例4设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0，21］，都有f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)，且f(1)=a0．(1)求f(21)、f(41);(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(2n＋n21)，求).(lnlimnna（2001年全国高考题）分析本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力．认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)找到问题的突破口．由f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)变形为)2()2()2()22()(xfxfxfxxfxf是解决问题的关键．解(1)因为对x1，x2∈［0，21］，都有f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)，所以f(x)=)2()22(xfxxf≥0，x∈［0，1］又因为f(1)=f(21＋21)=f(21)·f(21)=［f(21)］2f(21)=f(41＋41)=f(41)·f(41)=［f（41）］2又f(1)=a0∴f(21)=a21，f(41)=a41(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1＋1－x)，即f(x)=f(2－x)，x∈R．又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x)，x∈R，∴f(－x)=f(2－x)，x∈R．将上式中－x以x代换得f(x)=f(x＋2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．(3)解：由(1)知f(x)≥0，x∈［0，1］∵f(21)=f(n·n21)=f(n21＋(n－1)n21)=f(n21)·f((n－1)·n21)=……=f(n21)·f(n21)·……·f(n21)=［f(n21)］n=a21∴f(n21)=an21．又∵f(x)的一个周期是2∴f(2n＋n21)=f(n21)，因此an=an21∴.0)ln21(lim)(lnlimanannn例5(1997年全国高中数学联赛)已知数列{nx}满足11nnnxxx(n≥2)，x1a，x2b，记Snx1＋x2＋＋xn，则下列结论正确的是()A．x100a，S100=2baB．x100b，S1002baCx100b，S100=baD．x100a，S100ba解因为11nnnxxx=121)(nnnxxx2nx，于是得nnnxxx36所以数列{nx}是周期数列，其周期为6k(k∈Z)，且x1＋x2＋＋x6=0，x100=x4=－x1=－a．故S10016(x1＋x2＋＋x6)＋x97＋x98＋＋x99＋x100=x1＋x2＋x3＋x4=x2＋x3=2b－a．例6设数列a1，a2，a3，…，an，满足a1=a2=1，a3=2，且对任意自然数n都有an·an＋1·an＋2≠1，an·an＋1·an＋2an＋3=an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，求a1＋a2＋a3＋…＋a100．解由an·an＋1·an＋2an＋3=an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，①得an＋1·an＋2·an＋3an＋4=an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4，②两式相减得：(an－an＋4)·(an＋1＋an＋2an＋3－1)=0，由于an＋1＋an＋2an＋3≠1，所以an＋4=an．又a1=a2=1，a3=2，由①得2a4=4＋a4，所以a4=4．故a1＋a2＋a3＋a4=8，于是a1＋a2＋a3＋…＋a100=25(a1＋a2＋a3＋a4)=200．情景再现3．设f(x)是定义在区间(－∞，＋∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I0时f(x)=x2．(Ⅰ)求f(x)在Ik上的解析表达式;(Ⅱ)对自然数k，求集合Mk={a│使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根}．4．(2005年上海理科卷)在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P，22(2,2)P，33(3,2)P，…，(,2)nnPn，其中n是正整数．对平面上任一点0A，记1A为0A关于点1P的对称点，2A为1A关于点2P的对称点，……，nA为1nA关于点nP的对称点．(1)求向量02AA的坐标；(2)当点0A在曲线C上移动时，点2A的轨迹是函数()yfx的图象，其中()fx是以3为周期的周期函数，且当0,3x时，()lgfxx，求以曲线C为图象的函数在1,4的解析式；对任意偶数n，用n表示向量0nAA的坐标C类例题例7．(2005年广东卷19)设函数()(,)(2)(2),(7)(7)fxfxfxfxfx在上满足，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(ff（Ⅰ）试判断函数)(xfy的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(xf在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．解（Ⅰ）由(2)(2)()(4)(4)(14)(7)(7)()(14)fxfxfxfxfxfxfxfxfxfx)10()(xfxf，从而知函数)(xfy的周期为10T又(3)(1)0,(7)0fff而，(3)(310)(7)0fff，所以(3)(3)ff故函数)(xfy是非奇非偶函数;(II)又(3)(1)0,(11)(13)(7)(9)0ffffff故f(x)在[0，10]和[－10，0]上均有有两个解，从而可知函数)(xfy在[0，2005]上有402个解，在[－2005．0]上有400个解，所以函数)(xfy在[－2005，2005]上有802个解．链接若f(a＋x)=±f(a－x)，且f(b＋x)=±f(b－x)，(a≠b)(1)若f(a＋x)=f(a－x)，且f(b＋x)=f(b－x)，或f(a＋x)=－f(a－x)，且f(b＋x)=－f(b－x)，则2(b－a)是f(x)的周期，即f[x＋2(b－a)]=f(x)证明：因为f(2a＋x)=f[a＋(a＋x)]=f(2a－x)=f(－x)，同理f(2b＋x)=f(－x)，因为f[x＋2(b－a)]=f[2b＋(x－2a)]=f[(x－2a)]=f(x)或f(2a＋x)=f[a＋(a＋x)]=－f[a－(a－x)]=－f(－x)，同理f(2b＋x)=－f(－x)，因为f[x＋2(b－a)]=f[2b＋(x－2a)=－f[2a＋(－x)]=f(x)．(2)若f(a＋x)=f(a－x)，且f(b＋x)=－f(b－x)，或f(a＋x)=－f(a－x)，且f(b＋x)=f(b－x)，则4(b－a)是f(x)的周期，即f[x＋4(b－a)]=－f(－x)．(证明留给读者完成)例8数列{an}满足an=an－1－an－2(n≥3)．如果它的前1492项之和是1985，而它的前1985项之和是1492．那么前2001项的和是多少?(1985年中美数学邀请赛复赛试题)解因为an=an－1－an－2=(an－2－an－3)－an－2=－an－3同理an－3=－an－6所以an=an－6故数列{an}是周期数列．其周期为6．且f(n)=f(6k＋n)，(k∈N)．Sn=an＋an－1＋an－2＋＋a1，且an