惯性张量

转动惯量转动惯量，又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩，易与力矩混淆），通常以I表示，SI单位为kg*m2，可说是一个物体对于旋转运动的惯性。对于一个质点，I=mr2，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。对于一个有多个质点的系统，。若该系统由刚体组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计算其转动惯量。如果一个质量为m的物件，以某条经过A点的直线为轴，其转动惯量为IA。在空间取点B，使得AB垂直于原本的轴。那么如果以经过B、平行于原本的轴的直线为轴，AB的距离为d，则IB=IA+md2。力距在直线运动，F=ma。在旋转运动，则有τ=Iα，其中τ是力矩，α是角加速度。动能一般物件的动能是。将速度v和质量m，用转动力学的定义取代：得出，简化得。如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动惯量减少了。惯性张量对于三维空间中任意一参考点Q与以此参考点为原点的直角座标系Qxyz，一个刚体的惯性张量是。(1)这里，对角元素、、分别为对于x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩。设定为微小质量对于点Q的相对位置。则这些惯性矩，可以精简地用方程式定义为，，(2)。而非对角元素，称为惯性积,可以定义为，，(3)。导引图A如图A，一个刚体对于质心G与以点G为原点的直角座标系Gxyz的角动量定义为。这里，代表微小质量在Gxyz座标系的位置，代表微小质量的速度。因为速度是角速度叉积位置，所以，。计算x-轴分量，相似地计算y-轴与z-轴分量，角动量为，，。如果，我们用方程式(1)设定对于质心G的惯性张量，让角速度为，那么，。(4)平行轴定理平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。假若已知刚体对于质心G的惯性张量，而质心G的位置是，则刚体对于原点O的惯性张量，依照平行轴定理，可以表述为，，(5)，，，(6)。证明：图Ba)参考图B，让、分别为微小质量对质心G与原点O的相对位置：，。依照方程式(2)，。所以，相似地，可以求得、的方程式。b)依照方程式(3)，。。因为，，所以相似地，可以求得对于点O的其他惯性积方程式。对于任意轴的惯性矩图C参视图C，设定点O为直角座标系的原点，点Q为三维空间里任意一点，Q不等于O。思考一个刚体，对于OQ-轴的惯性矩是。这里，是微小质量离OQ-轴的垂直距离，是沿着OQ-轴的单位向量，是微小质量的位置。展开叉积，。稍微加以编排，特别注意，从方程式(2)、(3)，这些积分项目，分别是刚体对于x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩与惯性积。因此，。(7)如果已经知道，刚体对于直角座标系的三个座标轴，x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩。那么，对于OQ-轴的惯性矩，可以用此方程式求得。主惯性矩因为惯性张量是个实值的三维对称矩阵，我们可以用对角线化，将惯性积变为零，使惯性张量成为一个对角矩阵[1]。所得到的三个特征值必是实值；三个特征向量必定互相正交。我们需要求解。(8)或者，。展开行列式，可以得到一个三次方程式。方程式的三个根、、都是正的，实值的特征值。将特征值代入方程式(8)，再加上方向余弦方程式，，我们可以求到特征向量、、。这些特征向量都是刚体的惯量主轴；而这些特征值则分别是刚体对于惯量主轴的主惯性矩。假设x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主惯性矩分别为、、，角速度是。那么，角动量为。动能刚体的动能可以定义为，这里，是刚体质心的速度，是微小质量相对于质心的速度。在方程式里，等号右边第一个项目是刚体平移运动的动能，第二个项目是刚体旋转运动的动能。由于这旋转运动是绕着质心转动的，。这里，是微小质量绕着质心的角速度，是对于质心的相对位置。因此，。或者，。所以(9)假设x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主惯性矩分别为、、，角速度是。那么，刚体的动能为。(10)