【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.2等比数列的性质课件 新人教A版必修5

2．4.2等比数列的性质1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式．2．掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决问题．学习目标课堂互动讲练知能优化训练2.4.2等比数列的性质课前自主学案课前自主学案温故夯基1．若数列{an}为等比数列，则_______＝q(常数)．2．通项公式：等比数列{an}的公比为q，则an＝________an＋1ana1qn－1.知新盖能等比数列的常用性质性质1通项公式的推广：an＝am·______(n，m∈N*)性质2若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝________性质3若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{1an}，{a2n}，{an·bn}，{anbn}仍是等比数列qn－mam·an性质4在等比数列{an}中距首、末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…性质5在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列课堂互动讲练考点突破等比数列的性质在解有关等比数列的问题时，要注意利用等比数列的性质，可以使问题变得简单、明了．(1)已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________．(2)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________．例1(3)在等比数列中，若a2＝2，a6＝162，则a10＝________.(4)(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．52B．7C．6D．42【思路点拨】①利用等比数列性质，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.②若{an}成等比数列，则am，am＋n，am＋2n，…仍成等比数列．【解析】(1)由等比数列性质a2a4＝a23，a4a6＝a25，把a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25化为a23＋2a3a5＋a25＝25⇒(a3＋a5)2＝25(an＞0)⇒a3＋a5＝5.(2)由题意得a1a2a3…a15a16a17＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9＝a179＝(－2)17＝－217.(3)∵{an}为等比数列，∴a2，a6，a10仍成等比数列，∴a26＝a2a10，∴a10＝a26a2＝16222＝13122.(4)∵{an}成等比数列且an＞0，∴a24＝a1a7，a25＝a2a8，a26＝a3a9.∴a24a25a26＝a1a7a2a8a3a9＝a1a2a3·a7a8a9＝50.∴a4a5a6＝52.【答案】(1)5(2)－217(3)13122(4)A等比数列的设法及求解三个数成等比数列时，常设这三个数分别为a，aq，aq2或aq，a，aq；四个数成等比数列时，常设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3或aq3，aq，aq，aq3(公比为q2)．有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．例2【思路点拨】根据三个数成等比数列，可以设三个数为aq，a，aq；根据三个数成等差数列且它们之和为12，可以设三个数为4－d,4,4＋d.【解】法一：设前三个数为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216，∴a3＝216.∴a＝6.因此前三个数为6q，6,6q.由题意第4个数为12q－6.∴6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为14(4－d)2，由题意14(4－d)2·(4－d)·4＝216，解得4－d＝6.∴d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.变式训练1已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．解：设三个数依次为a，aq，aq2，由题意知a·aq·aq2＝27a2＋a2q2＋a2q4＝91，∴aq3＝27a21＋q2＋q4＝91，即aq＝3a21＋q2＋q4＝91，解得q21＋q2＋q4＝991，得9q4－82q2＋9＝0，即得q2＝9或q2＝19，∴q＝±3或q＝±13，若q＝3，则a1＝1；若q＝－3，则a1＝－1；若q＝13，则a1＝9；若q＝－13，则a1＝－9.故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.等比数列的实际应用某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元．如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值．【思路点拨】审清题意，抽象出数学模型．“从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同”说明原计划三年产值成等差数列；“每一年比上一年的产值增长的百分数都相同”说明新产值构成等比数列．例3【解】由题意得，原计划三年中每年的产值组成等差数列，设为a－d，a，a＋d(d0)，则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝300，解得a＝100.又由题意知(a－d)＋10，a＋10，(a＋d)＋11组成等比数列，∴(a＋10)2＝[(a－d)＋10][(a＋d)＋11]．将a＝100代入上式，得1102＝(110－d)(111＋d)，即d2＋d－110＝0.解得d＝10或d＝－11(舍去)．∴原计划三年中每年的产值分别为90万元、100万元和110万元．【名师点评】本题首先归结到等差数列和等比数列两个数学模型，其次在设公差时，根据题意知d0，这是题中的隐含条件．变式训练2某工厂2010年生产某种机器零件100万件，计划到2012年把产量提高到每年生产121万件．如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少？2011年生产这种零件多少万件？解：设每一年比上一年增长的百分率为x，则从2010年起，连续3年的产量依次为a1＝100，a2＝a1(1＋x)，a3＝a2(1＋x)，即a1＝100，a2＝100(1＋x)，a3＝100(1＋x)2成等比数列．由100(1＋x)2＝121得(1＋x)2＝1.21，∴1＋x＝1.1或1＋x＝－1.1，∴x＝0.1或x＝－2.1(舍去)，a2＝100(1＋x)＝110(万件)，所以每年增长的百分率为10%,2011年生产这种零件110万件．等比数列的性质等比数列{an}的首项为a1，公比为q.(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列为递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列为递减数列；当q＝1时，数列为常数列；当q＜0时，数列为摆动数列．方法感悟(2)an＝amqn－m(m，n∈N*)．(3)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq.(4)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，则am，an，ap成等比数列．