结构力学 位移法

基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷载作用下内力的计算。掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。掌握对称性的利用。教学内容：﹡位移法的基本概念﹡等截面直杆的形常数和载常数﹡位移法的基本未知量和基本体系﹡位移法方程﹡位移法计算连续梁和刚架﹡位移法计算对称结构第7章位移法一、位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移——力法。第二种：以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力——位移法。结构在外因作用下产生内力变形内力与变形间存在关系§7.1位移法的基本概念力法：由变形协调条件建立位移方程；位移法：由平衡条件建立的平衡方程。二、位移法与力法的区别1.主要区别是基本未知量选取不同力法：多余未知力作为基本未知量；位移法：结点位移(线位移和角位移)作为基本未知量。2.建立的基本方程不同注意：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而位移法的基本未知量与超静定次数无关。1.刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移；2.各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆件的轴向变形；3.结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，即结点线位移垂直于杆轴发生。三、位移法的基本假定下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。结点位移与杆端位移分析BD伸长：22DC伸长：DA伸长：22杆端位移分析由材料力学可知：NDBEAFL222NDANDCEAFFL杆端力与杆端位移的关系D结点有向下的位移Δ△FPCDAB45o45o四、位移法的基本思路02222(22)2NDBNDCNDAPPYFFFFEAFL建立力的平衡方程由方程解得：2(22)PLEA位移法方程把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力：22222PNDBNDANDCFPFFF由结点平衡：NDCNDBNDAFpD③由结点平衡或截面平衡，建立方程；⑤结点位移回代，得到杆端力。总结一下直接平衡法解题的步骤：①确定结点位移的数量；②写出杆端力与杆端位移的关系式；④解方程，得到结点位移；F1Pql2/12ql2/121221qlFPθAF11AlEI4AlEI2AlEI2AlEI4lEIlEIAA440128021111qllEIFFFAPEIqlA9635ql2/48ql2/48BllqEI=常数ACθAqABCAlEI4AlEI2AlEI2AlEI4ABCθA4iF11θAABCql2/24基本体系法解题要点：（1）位移法的基本未知量是结点位移；（3）位移法的基本方程是平衡方程；（4）建立基本方程的过程分为两步：1）把结构拆成杆件，进行杆件分析；2）再把杆件综合成结构，进行整体分析；（5）杆件分析是结构分析的基础。（2）位移法的基本结构----单跨梁系；一、杆端力和杆端位移的正负规定二、形常数和载常数1.杆端转角φ、杆两端相对位移Δ以使杆件顺时针转动为正号。2.杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；对支座或结点逆时针转动为正号。杆端剪力以使作用截面顺时针转动为正号。形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力载常数：由荷载引起的固端力§7.2等截面直杆的刚度方程MABQBAMBAQABΔφAφB根据力法可求解：其中i=EI/l，称为杆件的线刚度liiiMliiiMBABABAAB6426241.由杆端位移求杆端内力（形常数）MABMBAΔφ2Aφ2Bφ1Aφ1B2121BBBAAA图（1）图（2）1）求图(1)中的φA1,φB1MBAMABBMABA(a)M=11ABM=11A(b)(c)2）求图(2)中φA2和φB23）叠加得到lMEIiMEIllMEIlMEIlBAABBBAABA3663变换式上式可得杆端内力的刚度方程（转角位移方程）：liiiMliiiMBABABAAB642624由平衡条件得杆端剪力：见图（d)21266lilililMMFFBABAABQBAQABFQBAMBAMABBAFQAB(d)4422ABAABAAAEIMiLEIMiL由力法求得由力法求得4422BABBABBBEIMiLEIMiL1.两端固定单元，在A端发生一个顺时针的转角。AAABMABMBA2.两端固定单元，在B端发生一个顺时针的转角。BABMABMBAB4i2iM由力法求得226666ABBAEIiMLLEIiMLL3.两端固定单元，在B端发生一个向下的位移。△ABMABMBA4.一端固定一端铰结单元，在A端发生一个顺时针的转角。AABMABMBA由力法求得03BAAABMiM由力法求得2330ABBAEIiMLLM由力法求得ABABBAAAEIMiLEIMiL5.一端固定一端铰结单元，在B端发生一个向下的位移。MABABMBA△6.一端固定一端滑动单元，在A端发生一个顺时针的转角。MABMBAABA由单位杆端位移引起的形常数单跨超静定梁简图MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1212lili6li6li6AB10li3ABθ=13i023liABθ=1i-i0li3单跨超静定梁简图MABMBAAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q212ql212qlABP8Pl8PlAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q28qlABl/2l/2P316Pl002.由荷载求杆端内力——固端弯矩和固端剪力（载常数）独立的结点位移：包括角位移和线位移结点角位移数：刚结点的数目独立结点线位移数：铰结体系的自由度§7.3位移法的基本未知量一、位移法基本未知量●结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。●杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。●为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。2.有侧移结构1231.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角121二、基本未知量的确定只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形，B结点只有B只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形及C结点的约束形式，B结点有一个转角和水平位移BBHABCABC例1.例2.ABCD例3.有两个刚结点E、F、D、C，由于忽略轴向变形，E、F、D、C点的竖向位移为零，E、F点及D、C点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：EFCDEFCDADCBEF例4.有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形，B、C点的竖向位移为零，B、C点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：BCBC结论：刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形及B、C点的约束，B、C点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未知量为：BCABCD例5.ABCD例6.桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未知量为：.AHAVBHBVDH排架结构，有两个铰结点A、B，由于忽略轴向变形，A、B两点的竖向位移为零，A、B两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：ABEA=∞ABCD两跨排架结构，有四个结点A、B、C、D，同理A与B点、D与C点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，但D结点有一转角，因此该结构的未知量为：ABDCD例7.EA=∞ABDCEFG例8.CDECHDV该题的未知量为对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。ABCDEABCDE例9.结点转角的数目：7个独立结点线位移的数目：3个123刚架结构，有两个刚结点D、E，故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，W=3×4－2×6=0，铰结体系几何不变，无结点线位移。ABCDEABCD刚架结构，有两个刚结点C、D，故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，W=3×3－2×4=1，铰结体系几何可变，有一个线位移。ABDCEABDCE刚架结构，有两个刚结点D、E，故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，W=3×4－2×6=0，铰结体系几何瞬变，有一个线位移。分析方法：该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平移至B’C’，然后它绕B’转至D点。结论：该题有两个未知量：其中BA杆的线位移为：△BC杆的线位移为：SinB△例10.B’C’ABCD注意：(1)铰处的转角不作基本未知量。(2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。aΔ(3)结构带无限刚性梁时，即EI∞时，若柱子平行，则梁端结点转角为0；若柱子不平行，则梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。ABCDEΔΔ§7.4位移法举例杆长为：lB42BABABEIMLEIMLBA杆238BcBEIqLMLBC杆解：1.确定未知量B未知量为:2.写出杆端力的表达式3.建立位移法方程取B结点，由,得:0BM2708BqLiAEIBCEIq例1:4.解方程，得:256BqLi5.把结点位移回代，得杆端弯矩6.画弯矩图2222223568144561428BCBAABiqLqLqLMiiqLqLMiqLMql28ql214ql228ABCM图4I4I5I3I3I1110.750.5i=1110.750.5ABCDEF5m4m4m4m2m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m例2.1、基本未知量θB、θC2、列杆端力表达式令EI=1BAqlm8420822mkN.40BCqlm125201222CBmkNm.7.41mkN.7.41CCCFM25.04BBEBM5.175.02CBCBM7.4142CBBCM7.4124BBAM403CCFCM5.02BBBEM375.04CCDM33、列位移法方程0CFCDCBCMMMM0BEBCBABMMMM07.1210CB07.4192CB4、解方程θB=1.15θC=－4.89=43.5=－46.9=24.5=－14.7=－9.78=－4.89MCBMCDMCF=3.4=1.7ABCDEF5m4m4m4m2m43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)位移不是真值!!5、回代6、画M图MBAMBCMBE例3.1.位移法未知量未知量：BBV2.杆端弯矩表达式226241212812ABBBABiqLMiLiqLMiL33BCBiMiL3.建立位移方程取出B结点:FQBAFQBCBMBCMBAFP00BBABCMMM2911012BiqLiL……①00QBAQBCPYFFF……②LLqFP2EIEIABC求FQBAABqMABFQABFQBAMBA20212122L2AABBCQBABMMMqLFLiiqLL求FQBCBMBCFQBCFQCBC2033BCcQBCBMMFLiiLL把FQBCFQBA代入方程②中得：2221224330292702BBPBPiiqLiiFLLLLiiqLFLL……②后面的工作就省略了。例4.1.未知量2个：BBC20631001216BABBCiqLP