结构力学15第十五章.结构的塑性分析与极限荷载

结构的塑性分析与极限荷载1第十五章§15-1概述§15-2极限弯矩、塑性铰和极限状态§15-3超静定梁的极限荷载§15-4比例加载时判定极限荷载的一般定理§15-5刚架的极限荷载§15-1概述2一、弹性设计与塑性设计弹性设计是在计算中假设应力与应变为线性关系，结构在卸载后没有残余变形。利用弹性计算的结果，以许用应力（弹性极限）为依据来确定截面尺寸或进行强度验算，就是弹性设计的作法。3弹性设计的缺点是：对于塑性材料的结构，特别是超静定结构，当最大应力达到屈服极限，甚至某一局部已进入塑性阶段，但结构并没有破坏，即结构还没有耗尽承载能力。由于没有考虑材料超过屈服极限后的这一部分承载能力，因而弹性设计不够经济。在塑性设计中，首先要确定结构破坏时所能承受的荷载——极限荷载，然后将极限荷载除以荷载系数得到容许荷载并进行设计。二、材料的应力——应变关系4a)理想弹塑性模型sεsεABCDob)弹塑性硬化模型在塑性设计中，通常假设材料为理想弹塑性，其应力与应变关系如下：ssεsεPεεABCDoε51）残余应变当应力达到屈服应力σs后在C点卸载至D点，即应力减小为零，此时，应变并不等于零，而为εP，由下图可以看出，ε=εs+εP，εP是应变的塑性部分，称为残余应变。理想弹塑性模型ssεsεPεεABCDoε6sεABCoAεBεCε1A1B1C1可见，弹塑性问题与加载路径有关。2）应力与应变关系不唯一当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之间不再存在一一对应关系，即对于同一应力，可以有不同的应变ε与之对应。§15-2极限弯矩、塑性铰和极限状态7下图示理想弹塑性材料的矩形截面纯弯梁，随着M增大，梁会经历由弹性阶段到弹塑性阶段最后到塑性阶段的过程（见下页图）。无论在哪一个阶段，平截面假定都成立。MhMb一、极限弯矩8a)hb)c)ssy0y0ssssb图a）——截面还处在弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs，截面弯矩为：26SsbhMMs称为弹性极限弯矩，或称为屈服弯矩。9图b）——截面处于弹塑性阶段，截面外边缘处成为塑性区，在截面内部仍为弹性区。0syyb)y0y0ssc)ss图c）——截面处于塑性流动阶段。在弹塑性阶段，随着M增大，弹性核高度逐渐减小最后y0→0。此时相应的弯矩为：24usbhMMu是截面所能承受的最大弯矩，称为极限弯矩。二、塑性铰和极限荷载10在塑性流动阶段，在极限弯矩Mu保持不变的情况下，两个无限靠近的截面可以产生有限的相对转角。因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面产生了塑性铰。塑性铰是单向铰。因卸载时应力增量与应变增量仍为直线关系，截面恢复弹性性质。因此塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的转角。11简支梁跨中受集中力作用，随着荷载的增大，梁跨中截面弯矩达到极限弯矩Mu，跨中截面形成塑性铰。这时简支梁已成为机构，跨中挠度可以继续增大而承载力不能增大，这种状态称为极限状态，相应的荷载称为极限荷载FPu。FPul/2l/2FPuMuMu§15-3超静定梁的极限荷载12对于静定结构，当一个截面出现塑性铰时，结构就变成了具有一个自由度的机构而破坏。对于具有n个多余约束的超静定结构，当出现n+1个塑性铰时，该结构变为机构而破坏。或者塑性铰虽少于n+1个，但结构局部已经变为机构而破坏。一、单跨超静定梁的极限荷载13为了求得极限荷载，需要确定结构的破坏形态，即确定塑性铰的位置及数量。塑性铰首先出现在弯矩最大的截面，随着荷载的增大，其他截面也可能出现新的塑性铰直至结构变为具有自由度的机构从而丧失承载能力为止。极限荷载的求解无需考虑变形协调条件、结构变形的过程以及塑性铰形成的次序。利用静力平衡方程求极限荷载的方法称为静力法。利用虚功方程求极限荷载的方法称为虚功法。例15-3-1求梁的极限荷载,截面极限弯矩为Mu。14结构在A、C截面出现塑性铰。1）静力法：1142614()2uPuuuPuuuMFlMMFMMll解：FPCl/2l/2ABFPuMuCABMu15令机构产生虚位移，使C截面竖向位移和荷载FPu同向，大小为δ。2）虚功法121242/2lll外力虚功：PuWF内力虚功：12624()uiuuuMWMMMlll由We=Wi，可得：6uPuMFlFPuCABMuMu121l/2l/2例15-3-2求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。16外力虚功2112244uulWqlql内力虚功24iuuuuWMMMM由We=Wi，可得2144uuqlM所以有216uuMqlquACBMuMuMu24l4l2l解：ACBql/2l/2例15-3-3求梁的极限荷载，已知梁截面极限弯矩17塑性铰位置：A截面及跨中最大弯矩截面C。整体平衡0AM211()2RBuuFqlMl12uRBuMFqllBC段平衡0yF0QCRBuFFqxRBuFqx解:BlqAquABl-xMuMuCCARBFxquxBCRBFQCFMu为Mu。1122uuuuuMMqlqxxllql182222111222uRBuuuuMFxqxqxqxqxBC段平衡0CM2222222(2)1111()(2)222(2)8uuuuuuuuuuuMqlMMqlqqlMqlqlql42221240uuuulqlMqM24242224412144161211.31422uuuuuulMlMlMlMlMqll24223.31411.6572uuulMMqll222(2)8uuuuqlMqlMquxBCRBFQCFMu例15-3-4求图示梁的极限荷载。19塑性铰的可能位置：A、B、D。解:ABCD/3l/3l/3lPFAB段极限弯矩为，BC段极限弯矩为Mu。uM201）B、D截面出现塑性铰，由弯矩图可知，只有当时，此破坏形态才可能实现。'3uuMMPuuBuDFMM36BDll36()PuuFMll'9(3)PuuuuFMMMlABCDFPuMuMu3uuMMABCDFPuMuMuBD/3l/3l/3l212)A、D截面出现塑性铰。由弯矩图可知，只有当时，此破坏形态才可能实现。''1(),32uuuuuMMMMM即'PuuAuDFMM3339222ADllll'3922PuuuFMMll''3(3)2(3)PuuuuuFMMlMMABCDFPuMu'uM'1(-)2uuMMACDFPuMuD'uMA2/3l/3l223）当时，则前面两种破坏形态均可能出现，则'3uuMM''33(3)(33)229(3)PuuuuuuuuFMMMMllMMMl为了计算超静定结构的极限荷载，关键是确定真实的破坏形态，即塑性铰的数量及位置。无需考虑变形协调条件，也不受温度变化和支座移动等因素的影响，因为这些因素只影响变形的发展过程，并不影响极限荷载的数值。二、连续梁的极限荷载假设:231）连续梁每一跨内等截面，但各跨的截面可以彼此不同，故各跨可以有不同的Mu；2）各跨荷载方向相同，且按相同比例增大。因此，连续梁只能在各跨独立形成破坏机构，而不能由相邻两跨联合形成破坏机构。因为各跨在竖向荷载作用下，每跨内的最大负弯矩只可能在各跨两端出现，即负塑性铰只可能在出现两端。24连续梁某跨的破坏与其他跨无关，一跨破坏就认为连续梁丧失承载能力。连续梁极限荷载的求解同单跨梁。25例15-3-5求连续梁的极限荷载。1)第一跨1(2)2PuulFM16uPuMFl解：ABCFPu1MuMu2/2lABCMu2FPMu1.2Mu1.2Mu1.2Mu0.5l0.5l0.75l0.75lFP3.07uPuMFl故262)第二跨2321.2(2)4PuuulFMM234.62PuulFM23.07uPuMFlABCMu2FPu21.2Mu1.2Mu23/4l§15-4比例加载时判定极限荷载的一般定理27一、一般定理1.比例加载1）结构上全部荷载按同一比例增加，故全部荷载组成一个广义力FP。2）荷载单调增加，不卸载。1）平衡条件：在极限受力状态下，结构的整体或任一局部都保持平衡。2．结构的极限受力状态应当满足的条件282）内力局限条件（屈服条件）：在极限受力状态下，结构任一截面的弯矩都不大于极限弯矩，即︱M︱≤Mu。3）单向机构条件（机构条件）：在极限受力状态，已有某些截面的弯矩达到极限弯矩，结构中已经出现足够数量的塑性铰，使结构成为机构，能沿荷载方向作单向运动（荷载作正功）。1）对任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值称为可破坏荷载，记为。PF3.两个定义292）在某个荷载作用下，如果能找到一种内力状态与之平衡，且结构各截面的内力都不超过其极限值，则该荷载值称为可接受荷载，记为。PFPF极限荷载FPu同时满足上述三个条件，因此，FPu又是，也是。PF可破坏荷载满足平衡条件和机构条件，不一定满足屈服条件；可接受荷载满足平衡条件和屈服条件，不一定满足机构条件。PFPF1）基本定理可破坏荷载恒不小于可接受荷载，即有。PFPFPPFF4．定理30证明：取任一可破坏荷载，对于相应的单向机构位移列出虚功方程：1nPuiiiFM上式中，n是塑性铰数目。根据单向机构条件，恒为正值，故可以用绝对值表示。uiiM取任一可接受荷载，相应的弯矩图称为图。令此荷载及内力在上述机构位移上作虚功，虚功方程为：PFM1nPiiiFM31iM是图中对应于上述机构位移状态第i个塑性铰处的弯矩值。M根据内力局限条件可得iuiMM11nniiuiiiiMM于是：PPFF极限荷载FPu是唯一确定的。对于任一荷载FP，如果存在一个内力分布，能同时满足平衡条件、屈服条件和单向机构条件，则该荷载就是唯一的极限荷载FPu。2）唯一性定理3212PuPuFFPFPF反之，把FPu2看作，FPu1看作，则有：证明：设存在两种极限内力状态，相应的极限荷载分别为FPu1和FPu2。把FPu1看作，FPu2看作，则有：PFPF21PuPuFF所以，只能有12PuPuPuFFF3）上限定理（极小定理）33故PuPFF证明：因为极限荷载又是可接受荷载，则由基本定理可得：PuFPFPuPFF可破坏荷载是极限荷载的上限，或者说极限荷载是可破坏荷载中的极小者，即。PFPuFPPFF4）下限定理（极大定理）34PuPFFPuPFF可接受荷载是极限荷载的下限，或者说极限荷载是可接受荷载中的极大者，即。PFPuF证明：因为极限荷载又是可破坏荷载，且，故PuFPFPPFF二、求极限荷载的基本方法1.机构法352.试算法基于上限定理，即根据结构全部可能的破坏机构，求出相应的可破坏荷载，其中最小的可破坏荷载就是极限荷载。PuPFFPFPuFPF基于唯一性定理，具体做法是：选定一种破坏机构并求得相应的可破坏荷载，画出结构弯矩图，若各截面弯矩均小于极限弯矩，则求得的荷载就是极限荷载FPu。解：361）图a）所示机构111134325424PPPPlllWFFFFl347iuuuWMMM11.4uPMFl例15-4-1求梁的极限荷载，截面极限弯矩为Mu。1.机构法ABED/4l/4l/4l/4l4FP3FP2FPCABCDEMuMu3/2l3/4l4θ/4l14PF13PF12PFa)372）图b）所示机构22224323424PPPPlllWFFFFl23iuuuWMMM2uPMFl3）图c）所示机构33333432442