组织行为学课程标准

第二部分讲重点•小题专练第7讲导数及其应用热点调研调研一导数的运算及几何意义【典例1】(导数的运算)(2015·湖北月考)已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．－2B．2C．－94D.94【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋12，解得f′(2)＝－94.故选C.【答案】C【对点练1】(1)(2015·甘肃兰州)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋13x3，则f(x)＝________.【解析】由f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋13x3，得f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x2.令x＝1，得f(0)＝1.在f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋13x3中，取x＝0，得f(0)＝f′(1)e－1＝1，所以f′(1)＝e，所以f(x)＝ex－x＋13x3.【答案】ex－x＋x33(2)(2015·福建八县联考)函数f(x)＝excosx的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A.π4B．0C.3π4D．1【解析】f′(x)＝excosx－exsinx，所以f′(0)＝e0cos0－e0sin0＝1，所以倾斜角α＝π4.故选A.【答案】A【典例2】(求切线方程)(1)(2015·宁夏附中期中)函数f(x)＝lnx－2xx的图像在点(1，－2)处的切线方程为()A．2x－y－4＝0B．2x＋y＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y－3＝0【解析】∵f(1)＝－2，∴点(1，－2)在函数的图像上．∴f′(x)＝1－lnxx2，∴f′(1)＝1－ln112＝1，∴切线方程是y－(－2)＝1·(x－1)，即x－y－3＝0.故选D.【答案】D(2)已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4，则曲线f(x)过点A(2，－2)的切线方程为________．【解析】设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)．又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)．整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1.∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.【答案】x－y－4＝0，或y＋2＝0【对点练2】(1)(2015·衡水调研)曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2【解析】通解∵y＝1－2x＋2＝xx＋2，∴y′＝x＋2－xx＋22＝2x＋22，y′|x＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1，故选A.优解由题意得y＝1－2x＋2＝1－2(x＋2)－1，∴y′＝2(x＋2)－2，∴y′|x＝－1＝2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1，故选A.【答案】A(2)(2015·福建福州月考)已知点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图像上，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是()A．6x－y－4＝0B．x－4y＋7＝0C．6x－y－4＝0或x－4y＋7＝0D．6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0【解析】由于点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图像上，则a＝2，即y＝2x3，所以y′＝6x2.若点A为切点，则切线斜率为6，若点A不是切点，设切点坐标为(m,2m3)，则切线的斜率为k＝6m2.由两点的斜率公式，得2m3－2m－1＝6m2(m≠1)，即有2m2－m－1＝0.解得m＝1(舍去)或m＝－12.综上，切线的斜率为k＝6或k＝6×14＝32，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程为y－2＝6(x－1)或y－2＝32(x－1)，即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故选D.【答案】D【典例3】(切线的灵活应用)(1)(2015·兰州一模)已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则实数b的值为________．【解析】因为函数y＝x3＋ax＋b的导函数为y′＝3x2＋a，所以曲线y＝x3＋ax＋b在点(1,3)处的切线斜率为3＋a，所以3＋a＝2，3＝1＋a＋b，解得a＝－1，b＝3.【答案】3(2)(2015·河北五校质检)若曲线C1：y＝ax2(a0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为()A．[e28，＋∞)B．(0，e28]C．[e24，＋∞)D．(0，e24]【解析】根据题意，函数y＝ax2与函数y＝ex的图像在(0，＋∞)上有公共点，令ax2＝ex，得a＝exx2.设f(x)＝exx2，则f′(x)＝x2ex－2xexx4.由f′(x)＝0，得x＝2.当0x2时，f′(x)0，函数f(x)＝exx2在区间(0,2)上是减函数；当x2时，f′(x)0，函数f(x)＝exx2在区间(2，＋∞)上是增函数．所以当x＝2时，函数f(x)＝exx2在(0，＋∞)上有最小值f(2)＝e24，所以a≥e24.故选C.【答案】C(3)(2015·重庆一诊)若点P是函数f(x)＝x2－lnx上任意一点，则P到直线x－y－2＝0的最小距离为()A.22B.2C.12D．3【解析】由f′(x)＝2x－1x＝1得x＝1(负值舍去)，故曲线f(x)＝x2－lnx上切线斜率为1的切点是(1,1)，所以点P到直线x－y－2＝0的最小距离为|1－1－2|2＝2，故选B.【答案】B【对点练3】(1)(2015·宁夏银川期中)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1【解析】将点(0，b)代入x－y＋1＝0，得b＝1.f′(x)＝2x＋a，由导数的几何意义得k＝f′(0)＝a＝1.综上，a＝1，b＝1.故选A.【答案】A(2)(2015·西安四校联考)若函数f(x)＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．【解析】f′(x)＝1x＋a(x0)．∵函数f(x)＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴方程1x＋a＝2在区间(0，＋∞)上有解，即a＝2－1x在区间(0，＋∞)上有解，∴a2.若直线2x－y＝0与曲线f(x)＝lnx＋ax相切，设切点为(x0,2x0)，则1x0＋a＝2，2x0＝lnx0＋ax0，解得x0＝e，a＝2－1e.综上，实数a的取值范围是(－∞，2－1e)∪(2－1e，2)．【答案】(－∞，2－1e)∪(2－1e，2)(3)(2015·江西九江月考)已知函数f(x)＝－lnx，x∈(0，e)．过曲线y＝f(x)上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A、B两点，设O为坐标原点，则△AOB面积的最大值为________．【解析】设切点为(t，f(t))，因为f′(x)＝－1x，所以曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线方程为y＋lnt＝－1t(x－t)．令y＝0，得A点的横坐标为xA＝t(1－lnt)；令x＝0，得B点的纵坐标为yB＝1－lnt.当t∈(0，e)时，xA0，yB0，此时△AOB的面积S＝12t(1－lnt)2，S′＝12(lnt－1)(lnt＋1)，令S′0，得0t1e；令S′0，得1ete.所以函数S＝12t(1－lnt)2的单调递增区间为(0，1e)，单调递减区间为(1e，e)．所以当t＝1e时，△AOB的面积最大，且最大值为S＝12×1e(1－ln1e)2＝2e.【答案】2e1．求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．2．(1)曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程的求解方法：(2)求曲线y＝f(x)过点(x0，y0)的切线方程的求解步骤：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．(3)求曲线f(x，y)＝0在(x0，y0)处的切线方程得：①对f(x，y)＝0两边同时对x求导(y2按x的复合函数对待)；②解出y′＝g(x，y)；③将(x0，y0)代入上式得斜率；④点斜式写出方程．【典例4】(求单调区间)(2015·广东江门调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________．调研二导数与函数的单调性【解析】f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx≥0，则其在区间(－π，π)上的解集为(－π，－π2]和[0，π2]，即f(x)的单调递增区间是(－π，－π2]和[0，π2]．【答案】(－π，－π2]和[0，π2]【对点练4】(2015·湖南衡阳模拟)函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．【解析】f′(x)＝1－1x.令f′(x)0，解得0x1，所以原函数的单调递减区间为(0,1)．【答案】(0,1)【典例5】(利用单调性求参数范围)(1)(2015·东北三省模拟)若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(－∞，52)D．(－∞，52]【解析】函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则f′(x)＝6x2－6mx＋6≥0在(2，＋∞)上恒成立，即要求mx≤x2＋1在(2，＋∞)上恒成立．∵x2，∴m≤x＋1x.令g(x)＝x＋1x，g(x)在(2，＋∞)上是增函数，则g(x)g(2)＝52，所以m≤52.故选D.【答案】D(2)(2015·河北唐山模拟)直线y＝a分别与直线y＝2(x＋1)，曲线y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为()A．3B．2C.324D.32【解析】解方程2(x＋1)＝a，得x＝a2－1.设方程x＋lnx＝a的根为t(t0)，则t＋lnt＝a，则|AB|＝|t－a2＋1|＝|t－t＋lnt2＋1|＝|t2－lnt2＋1|.设g(t)＝t2－lnt2＋1(t0)，则g′(t)＝12－12t＝t－12t(t0)，令g′(t)＝0，得t＝1.当t∈(0,1)时，g′(t)0；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)0，所以g(t)min＝g(1)＝32，所以|AB|≥32，所以|AB|的最小值为32.【答案】D(3)(2015·甘肃兰州测试)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．【解析】f′(x)＝lnx－ax＋x(1x－a)＝lnx－2ax＋1，令f′(x)＝lnx－2ax＋1＝0得lnx＝2ax－1，因为函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，所以f′(x)＝lnx－2ax＋1有两个零点，等价于函数y＝lnx与y＝2ax－1的图像有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图像，过点(0，－1)作曲线y＝lnx的切线，设切点(x0，y0)，则切线的斜率为k＝1x0，切线方程为y＝1x0x－1.切点在切线上，则y0＝x0x0－1＝0，又切点在曲线y＝lnx上，则lnx0＝0，x0＝1，即切点为(1,0)．切线方程为y＝x－1.再由直线y＝2ax－1与曲线y＝lnx有两个交点，知直线y＝2ax－1位于两直线y＝－1和y＝x－1之间