(数学三)微积分性质公式整理

微积分第一章函数、连续、极限一、函数：1.函数的性态：有界性——区间内连续函数必有界，反之不然。同区间内导数有界则原函数有界。区间内有最大值（或最小值），则函数在区间内有上界（下届）。方法：定义、结合极限、连续与导数来确定。单调性——单调函数一定有反函数且单调性相同。单调函数的复合函数仍然是单调函数。单调函数的原函数和导数不一定仍为单调函数。方法：利用导数符号分析。周期性——f(x+T)=f(x)以T为周期的可导函数，其导数以T为周期，但原函数不一定为周期函数。以T为周期的连续函数：∫f(x)dxa+Ta=∫f(x)dxT0=∫f(x)dxT/2−T/2∫f(x)dx=n∫f(x)dxT0nT0方法：定义，利用常见函数判断（三角函数）。奇偶性——前提：定义域关于原点对称。奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×偶=奇，偶×偶=偶奇数个奇函数之积为奇函数，偶数个奇函数之积是偶函数奇奇复合为奇，偶偶复合为偶，奇偶复合为偶。求导后变换奇偶性。f(x)为偶↔f`(x)为奇，f(x)为奇→f`(x)为偶。若f(x)定义域关于原点对称，则：f(x)=12[f(x)-f(-x)]+12[f(x)+f(-x)]式中前者为奇，后者为偶。方法：定义2.相关：反函数——单调函数一定有反函数，反函数与直接函数单调性相同，图像关于y=x对称求定义域——分式中分母不为0，根式中负数不能开偶次方根，对数中底数大于0不等于1，真数大于0，arcsinx与arccosx中-1≤x≤1tanx，secx中x≠kπ+π2，cosx与cscx中x≠kπ求表达式——换元法，分段函数分段求。二、极限1.数列的极限：定义——给定数列｛Xn｝及常数a，若对于任意给定的正数ε＞0，总存在正整数N，使得当nN时，有|Xn－a|＜ε恒成立，则称常数a为数列｛Xn｝的极限，或者称数列｛Xn｝收敛于a，极为limn→∞Xn=a。性质——唯一性：数列收敛则极限唯一。有界性：收敛数列一定有界。保号性：如果limn→∞Xn=a，且a＞0（或a＜0），那么存在正整数N，当n＞N时，都有Xn＞0（或Xn＜0）。如果limn→∞Xn=a，limn→∞Yn=b，且a＞b，那么存在正整数N，当n＞N时，都有Xn＞Yn。如果数列收敛于a，那么此数列的任意子数列都收敛于a。求法——利用通向表达式转化为函数进行计算，若limx→∞f(x)=A，则limn→∞f(n)=A。若数列通项是n项和或积时，可利用积分定义，设f(x)在[a,b]上连续，则：limn→∞∑f[a+b−annk=1k]·b−an=∫f(x)dxbalimn→∞1n·∑f(kn)nk=1=∫f(x)dx102.函数的极限：定义——性质——唯一性：有极限则极限唯一。局部有界性：X→X0时f(x)→A，则f(x)在X0的某去心邻域内有界。局部保号性：X→X0时f(x)→A，A＞0（或A＜0），则在x0的某去心邻域内f(x＞0（或f(x)＜0）。反之亦然。求法——化简：无穷小量等量代换，分子分母同时除以最高次的项，根式有理化洛必达法则导数的定义利用两个重要极限变形幂指函数极限limf(x)g(x)：limf(x)g(x)=limeg(x)lnf(x)=elimg(x)lnf(x)变量代换：题设x→∞时，设t=1x往往可以简化计算带皮亚诺余项的泰勒公式展开：𝑒𝑥=1+𝑥22!+𝑥33!+o(x3)；ln(1+x)=x−12x2+13x3+o(x3)sinx=x−13!x3+15!x5+o(x5)；cosx=1−12!x2+14!x4+o(x4)11−x=1+x+x2+x3+o(x3)；(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+α(α−1)(α−2)3!x3+o(x3)利用左右极限求极限：分段函数：绝对值函数，取整函数[x]，最大最小，符号函数sgn(x)，且求分段点的极限时，要从左右极限入手当极限式中包含limx→∞arctanx，limx→∞arccotx，limx→∞ax时，要从x→−∞，x→+∞入手含参变量的极限应考虑参变量的范围求已知极限中的待定参数，函数值，导数及函数等：limf(x)·g(x)=A，limf(x)=∞→limg(x)=0limf(x)g(x)=A，limg(x)=0→limf(x)=03.无穷小量与无穷大量性质——limf(x)=A↔f(x)=A+α(x)，其中α(x)是此极限过程下的无穷小量。有限个无穷小量的和、积均为无穷小量无穷小量×有界量仍为无穷小量。比较——同一变化中，β(x)≠0，则对于limα(x)β(x)若为0，则称α(x)是β(x)的高阶无穷小，记作α(x)＝o(β(x))若为∞，则称α(x)是β(x)的低阶无穷小。若为1，则等价。若为常数C，则同阶。若limα(x)β(x)k=C，则则称α(x)是β(x)的k阶无穷小等价无穷小——ex−1~xax−a~xlna(1+x)m−1~mx1−cosx~12x2x−sinx~16x3x−ln(1+x)~12x2乘除因子项可直接替换等价无穷小，加减项不可。无穷大量——当n→∞时，按照趋向无穷的速度越来越大排列的函数：lnn，na(a0)，an(a0)，n!，nn4.极限的运算四则运算——若limf(x)=A，limg(x)=B，则：lim[f(x)±g(x)]=A±B&lim[f(x)·g(x)]=A·Blimf(x)g(x)=AB(B≠0)&limf(x)g(x)=AB(A0)若limf存在但limg不存在，则limfg和limfg可能存在也可能不存在。重要结果——limx→∞(x)1x=1；limx→0+(x)1x=0；limx→0+xx=1；limn→∞√an=1，a＞1；limn→∞√nn=1limf(x)·g(x)=A，limf(x)=∞→limg(x)=0limf(x)g(x)=A，limg(x)=0→limf(x)=05.两个重要极限：limx→0sinxx=1limx→0(1+x)1x=e或limx→∞(1+1x)x=e设α(x)→0，则limsinα(x)α(x)=1。设f(x)→A，g(x)→∞，则lim[f(x)]g(x)=lim[1+(f(x)−1)]1f(x)−1·[f(x)−1]g(x)=elim[f(x)−1]g(x)（1∞式）或lim[f(x)]g(x)=limeg(x)lnf(x)=elimg(x)lnf(x)=elimg(x)[f(x)−1]6.极限存在准则：单调有界准则——单调不增或不减，且有上界或下界的数列｛Xn｝必有极限。夹逼准则——如果数列｛Xn｝｛Yn｝｛Zn｝满足Yn≤Xn≤Zn（n=1，2…）；limn→∞Yn=a，limn→∞Zn=a，则limn→∞Xn存在且等于a函数的极限存在准则类似。7.洛必达法则：定义——注意——只有00，∞∞的未定式才可使用。尽量结合等价无穷小替换、变量替换简化运算。非零因子项（乘或除项）的极限用四则运算法则先求出后再使用洛必达法则。三、函数的连续与间断1.连续的定义x0点处——x0的某邻域，若limx→x0f(x)=f(x0)，则f(x)在点x0处连续。左连续与右连续。开区间连续——对于任意x0∈(a,b)，f(x)在x0连续，则称f(x)在(a,b)内连续闭区间上连续——f(x)在(a,b)连续，且limx→a+f(x)=f(a)，limx→b−f(x)=f(b)半开半闭区间上连续——应用——判断抽象函数的连续性2.连续的条件同时满足f(x)在x0点有定义，limx→x0f(x)存在，且limx→x0f(x)=f(x0)f(x)在x0点连续↔f(x)在x0点既左连续，又右连续。3.间断点定义——不满足连续三个条件的点分类——第一类间断点第二类间断点可去间断点：左右极限存在且相等左右极限至少有一个不存在的点，分为无穷间断点、震荡间断点等。跳跃间断点：左右极限存在但不想等判断——求出可能间断点的左右极限4.连续函数的性质：基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其有定义的区间内连续。连续函数的和差积商以及复合仍为连续函数。f(x)在[a,b]内连续，则∫f(t)xadt(a≤x≤b)，在[a,b]上可导，对∫f(t)xadt在[a,b]上可应用最值、介值、零点定理。设f(x)在x0处连续，若limx→x0f(x)x−x0=A，则f(x0)=0，且f`(x0)=A连续函数在闭区间上的性质——证明题构造F(x)后使用有界性与最大最小值定理：闭区间内连续函数一定有界且一定能取到最大最小值。介值定理：在[a,b]内f(a)=A，f(b)=B，C∈[A,B]，则(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C闭区间上的连续函数可以取到其区间上的任意有限个函数值的平均值。零点定理：f(x)在[a,b]内连续且f(a)·f(b)＜0，则(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=0第二章一元函数微分一、导数与微分1.导数的概念定义——设函数y=f(x)在点x0的某个邻域U(x0)内有定义，并设x0＋∆x∈U(x0)。若极限lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x存在，则称y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f`(x0)，即f`(x0)=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x。也可记作y`=|x=x0，dydx|x=x0或df(x)dx|x=x0。左导数与右导数——lim∆x→0−f(x0+∆x)−f(x0)∆x或lim∆x→0+f(x0+∆x)−f(x0)∆x导数与极限的联系——f`(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0若f`(x0)存在，limx→x0g(x)=limx→x0h(x)=x0，则（在下列极限存在时）limx→x0f[g(x)]−f(x0)g(x)−x0=f`(x0)，(g(x)≠x0)limx→x0f[g(x)]−f(x0)x−x0=f`(x0)·limx→x0g(x)−x0x−x0，设limx→x0g(x)−x0x−x0存在。limx→x0f[g(x)]−f[h(x)]x−x0=f`(x0)·limx→x0g(x)−h(x)x−x0，设limx→x0g(x)−h(x)x−x0存在。设f(x)在x0处连续，则limx→x0f(x)x−x0=A↔f(x0)=0，f`(x0)=Alimx→x0f(x)(x−x0)k=A(k1)→f(x0)=0，f`(x0)=0limx→x0f(x)(x−x0)k=A≠0(0𝑘1)→f(x0)=0，f`(x0)不存在可导与连续的关系——可导函数一定连续，反之不然。可导的充要条件——左右导数存在且相等导数的几何意义——函数y=f(x)在点x0处的导数f`(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f`(x0)=tanα，其中α是切线的倾角。法线斜率=−1f`(x0)。导数的经济意义——设函数f(x)可导，则导函数f`(x)称为边际函数，f`(x0)称为在x=x0点的边际函数值，而lim∆x→0∆yy/∆xx=lim∆x→0(∆y∆x·xy)=xyf`(x0)称为f(x)的弹性函数2.导数的计算基本初等——(tanx)`=sec2x(cotx)`=−csc2x(secx)`=secxtanx(cscx)`=−cscxcotx(ax)`=axlna(logax)`=1xlna(arcsinx)`=1√1−x2(arccosx)`=−1√1−x2(arctanx)`=11+x2(arccosx)`=−11+x2反函数的导数——反函数的导数等于直接函数的导数的倒数复合函数的导数——隐函数的导数——通过等式F(x，y)=0两边对x求导，y作为中间变量，按复合函数求导变限积分的导数——设f(x)在[a,b]上连续，则∫f(t)dtxa在[a,b]上可导，且(∫f(t)dtxa)`=f(x)设f(x)连续，g(x)与h(x)都可导，则(∫f(t)dth(x)g(x))`=f[h(x)]h`(x)−f[g(x)]g`(x)对