2010考研数学(三)模拟【试卷+答案】2

2010年全国硕士研究生入学统一考试考前预测(数学三)一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()fx有二阶连续导数，且0()1lim01cosxfxx，20()1lim111xfxx，则(A)()fx在点0x处取极大值(B)()fx在点0x处取极小值(C)点(0,(0))f是曲线()yfx的拐点(D)点0x不是()fx的极值点，点(0,(0))f也不是()yfx的拐点[]（2）设函数(,)fxy在全平面上都有(,)0fxyx，(,)0fxyy.则下列条件中能保证1122(,)(,)fxyfxy的是(A)1212,xxyy(B)1212,xxyy(C)1212,xxyy(D)1212,xxyy[](3)累次积分cos200(cos,sin)dfrrrdr可以写成(A)2100(,)yydyfxydx(B)21100(,)ydyfxydx(C)1100(,)dxfxydy(D)2100(,)xxdxfxydy[]（4）设01p，级数11sin()1npnnxdxx(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)敛散性与p有关[]（5）设A，B是n阶可逆矩阵，满足ABAB.则①||||||ABAB；②111()ABAB；③()0AEX只有零解；④BE不可逆.中正确的项数是（A）1（B）2（C）3（D）4[]（6）已知线性方程组12AXk有解，其中111121111A，1213，2131，则k等于（A）1（B）-1（C）2（D）-2[]（7）设A、B、C为事件，()0PABC，如果(|)(|)(|)PABCPACPBC，则（A）(|)(|)PCABPCA（B）(|)(|)PCABPCB（C）(|)(|)PBACPBA（D）(|)(|)PBACPBC[]（8）设12,,,nXXX是总体(0,1)N的简单随机样本，记11niiXXn，2211()1niiSXXn，2(1)(1)TXS，则()ET的值为（A）0（B）1（C）2（D）4[]二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（9）2020cos10xtxtdtedt的实根个数是_____.（10）设(,)fxy存在一阶偏导数，且(1,1)1f，(1,1)2xf，(1,1)1yf.又()(,(,(,)))xfxfxfxx，则(1)_____.（11）设()yyx是由sin()ln1xexyy确定的隐函数，则(0)________y.（12）幂级数1(2)3nnnxn的收敛域为____.（13）设A是三阶矩阵，有特征值11，21，32.*A是A的伴随矩阵，E是三阶单位阵，则*0||_____.2AAEA（14）已知随机变量X的概率分布为1{},(1,2,3)3PXkk，当Xk时随机变量Y在(0,)k上服从均匀分布，即0,0,{|},0,1,.yyPYyXkykkky则{2.5}____.PY三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）设函数()fx在点0x处二阶可导，且满足2301cos2lim()3xfxxxx.求'(0),(0)ff与''(0)f.（16）（本题满分11分）计算二重积分(1)Dxyd,其中积分区域D由y轴与曲线224,2yxyxx围成.（17）（本题满分10分）设生产某种产品需投入甲、乙两种原料，x和y分别为甲、乙两种原料的投入量（单位：吨），Q为产出量，且生产函数为Qkxy，其中常数0k，0，0.已知甲种原料每吨的价格为1P（单位：万元），乙种原料每吨的价格为2P（单位：万吨）.如果投入总价值为A（万元）的这两种原料，当每种原料各投入多少吨时，才能获得最大的产出量？（18）（本题满分10分）设(,)fuv具有连续偏导数，且(,)(,)sin()uvuvfuvfuvuve，求2()(,)xyxefxx所满足的一阶微分方程，并求其通解.（19）（本题满分11分）设()fx在区间[,]ab上可导，且满足22()cos()cosabafbbfxxdxba.求证至少存在一点(,)ab，使得()()tanff.（20）（本题满分10分）设四维向量组1(1,1,4,2)T，2(1,1,2,)Tb，3(3,1,,9)Ta，(1,3,10,)Tab.问：(Ⅰ)当,ab取何值时，不能由123,,线性表出；(Ⅱ)当,ab取何值时，能由123,,线性表出，并写出此时的表达式.（21）（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)33484TfxxxxAxxaxxxxxxxx其中2是二次型矩阵A的一个特征值.(Ⅰ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；(Ⅱ)求f在条件2221231xxx下的最小值，并求最小值点123(,,)xxx；(Ⅲ)如果*AkE是正定矩阵，求k的取值.（22）（本题满分11分）设两随机变量(,)XY在区域D上均匀分布，其中{(,):||||1}Dxyxy.又设UXY，VXY，试求：(Ⅰ)U与V的概率密度()Ufu与()Vfv；(Ⅱ)U与V的协方差cov(,)UV的相关系数UV.（23）（本题满分10分）设两随机变量(,)XY的概率密度为(),01;(,)0,kxyyxfxy其它.求(Ⅰ)常数k的值；(Ⅱ)(,)XY的边缘密度()Xfx和()Yfy；(Ⅲ)条件密度|(|)YXfyx和|(|)XYfxy；(Ⅳ){1}PXY的值.参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()fx有二阶连续导数，且0()1lim01cosxfxx，20()1lim111xfxx，则(A)()fx在点0x处取极大值(B)()fx在点0x处取极小值(C)点(0,(0))f是曲线()yfx的拐点(D)点0x不是()fx的极值点，点(0,(0))f也不是()yfx的拐点[]正确答案：B．解析：由0()1lim01cosxfxx，0lim(1cos)0xx，得0lim(()1)0xfx，而由()fx连续知()fx连续，所以0lim()(0)1xfxf.于是2200()(0)()11cos(0)limlim01cosxxfxffxxxfxxxx，所以0x是()fx的驻点.又由20()1lim111xfxx，20lim(11)0xx，得0lim(()1)(0)10xfxf，即(0)10f，所以()fx在点0x处有(0)0f，(0)10f，故点0x是()fx的极小值.应选（B).（2）设函数(,)fxy在全平面上都有(,)0fxyx，(,)0fxyy.则下列条件中能保证1122(,)(,)fxyfxy的是(A)1212,xxyy(B)1212,xxyy(C)1212,xxyy(D)1212,xxyy正确答案：C．解析：由(,)0fxyx，当固定y时，(,)fxy对x单调下降，故对12xx时，有1121(,)(,)fxyfxy；又由(,)0fxyy，，当固定x时，(,)fxy对y单调上升，故对12yy时，有2122(,)(,)fxyfxy；因此，当1212,xxyy时，有112122(,)(,)(,)fxyfxyfxy.应选(C).[](3)累次积分cos200(cos,sin)dfrrrdr可以写成(A)2100(,)yydyfxydx(B)21100(,)ydyfxydx(C)1100(,)dxfxydy(D)2100(,)xxdxfxydy[]正确答案：D．解析：由题设可知积分区域在极坐标系cos,sinxryr下是{(,)|0,0cos}2Drr，D的图形如图所示.它在直角坐标系下是2{(,)|01,0}Dxyxyxx或{(,)|01,Dxyy221111}2424yy，因此，这个二重积分在直角坐标下化为累次积分应为2100(,)xxdxfxydy或221112411024(,)yydyfxydx.由此可见（D）是正确的，应选（D）.（4）设01p，级数11sin()1npnnxdxx(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)敛散性与p有关[]正确答案：B．解析：当01p时，由积分中值定理得11sin()12(1)sin()11(1)nnnpppnnnnxdxxdxx，(,1)nnn，所以1sin()22||1(1)((1)1)npppnnxdxxn，(,1)nnn，而22~()((1)1)ppnnn，12pnn发散，所以原级数非绝对收敛.又1sin()2||0()1(1)nppnnxdxnx，而(,1)nnn，即1sin()||1npnxdxx单调减少.由莱布尼茨判别法知原级数收敛，故级数是条件收敛的，应选（B）.（5）设A，B是n阶可逆矩阵，满足ABAB.则①||||||ABAB；②111()ABAB；③()0AEX只有零解；④BE不可逆.中正确的项数是（A）1（B）2（C）3（D）4[]正确答案：C．解析：因A，B满足ABAB.两边取行列式，显然有||||||||ABABAB，（A）成立.又ABAB，移项，提公因子得()ABAABEB，()ABEBEE，()()AEBEE.故AE，BE都是可逆阵，且互为逆矩阵，从而知方程组()0AEX只有零解，正确.BE不可逆是错误的，又因()()AEBEE，故()()BEAEE，从而有BAABEE，BAAB，得ABBA，从而有1111()()ABBAAB成立.故（1）、（2）、（3）是正确的，应选（C）.（6）已知线性方程组12AXk有解，其中111121111A，1213，2131，则k等于（A）1（B）-1（C）2（D）-2[]正确答案：D．解析：将12AXk的增广矩阵作初等行变换，121112111121[|]121301034111310202kkAkkkkk1112101034000510kkk，12AXk有解12()(|)rArAk，得2k，故应选（D）.（7）设A、B、C为事件，()0PABC，如果(|)(|)(|)PABCPACPBC，则（A）(|)(|)PCABPCA（B）(|)(|)PCABPCB（C）(|)(|)PBACPBA（D）(|)(|)PBACPBC[]正确答案：D．解析：已知(|)(|)(|)PABCPACPBC意指：“在C发