不等式证明论文完整版

I摘要在中学数学的教学中，不等式的证明始终是一个难点，也占有重要的地位，是数学中不可缺少的工具之一。关于不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，从而不等式证明的教学在发展学生的数学思维，培养逻辑思维能力方面也发挥着重要的作用。就其知识范围而言，涉及到代数、三角、几何等各个初等数学领域，有较强的综合性和多样性。由于许多初等数学中的问题往往蕴含着数学中较高层次理论和再实践的问题。为解决高等数学与初等数学的脱节现象，有意将高等数学的原理和方法应用于一些初等数学的证明与计算。不仅可以开拓学生的视野，而且可以使学生体会用高等数学的原理和方法解决初等数学问题时居高临下，驾轻熟驭的感觉。因此，本文着眼于不同角度，应用不同的知识,从三个方面:1.不等式证明的基本方法；2.不等式证明的特殊方法；3.利用高等数学证明不等式的方法对若干例题的讲解，初步概括一些证明不等式的若干方法。关键词:不等式；初等数学；证明方法IIAbstractTheinequalityproofhasalwaysbeenadifficultpointinmathematicsteachinginmiddleschool.However,italsoplaysanimportantrole,andisanindispensablemathematicaltoolinmathematicsteaching.Asforthemethod,therearemanyfliexiblityandskillsandhavenofixedprincipletoobey.Therefore,theinequalityprooftakesanimportantpartinthedevelopmentofthestudents’mathematicalthinking,andlogicalthinking.Arageofknowledgeincludingalgebra,trigonometry,geometryandeveryareaofprimarymathematics,thereisastrongintegratedanddiversity.Becausemanyelementarymathematicsproblemsoftencontainsahigherlevelmathematics,theoryandmorepracticeproblems.Inordertosolvetheproblemthathighermathematicalienatedfromthemiddle-mathmaticals.ThispaperwillapplytheprinciplesmethodsofmathematicstosomeelementarymathematicalproofandCalculationpurposely.Doinglikethis:Notonlytoenlargestudents’rangeofknowledge,butalsoenablestudentstorealizethatusingtheprinciplesofadvancedMathematicstosolveElementaryMathproblemsjustlikedoingafamiliarjobwithease.Therefore,thispaperwilluseavarietyofknowledgesuchas:1Inequalityoutthebasicmethod;2.Inequalityoutspecialmethods;3.Usingadvancedmathematicsfromdifferentaspectstoanalysissomeexampletogainsomemethodsoftheinequalityproof.Keywords:Inequality;ElementaryMath;Methodsofproof目录摘要...............................................................IAbstract...........................................................II引言................................................................11不等式证明的基本方法..............................................11.1综合法..........................................................11.2分析法..........................................................21.3比较法.........................................................31.4反证法..........................................................41.5数学归纳法......................................................41.6放缩法..........................................................52不等式证明的特殊方法..............................................62.1换元法..........................................................62.1.1代数换元法....................................................62.1.2三角换元法....................................................72.2参数法..........................................................72.3面积法..........................................................92.4化整法..........................................................92.5通项公式法.....................................................103利用高等数学证明不等式的方法.....................................103.1函数单调性法...................................................113.2函数图形的凹凸性进行证明法....................................113.3拉格朗日中值定理法.............................................123.4柯西中值定理法.................................................123.5函数的极值和最值法.............................................133.6泰勒公式法.....................................................144结语............................................................15参考文献...........................................................16谢辞..............................................................17咸阳师范学院2010届本科毕业论文（设计）1引言数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起,东欧国家有一个较大的研究群体,特别是原南斯拉夫国家。目前,数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。在1882年-1928年数学不等式理论的见解:一般来讲初等的不等式应该有初等的证明,证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。于1934年以来,数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场,成为一门新兴的数学学科,从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合,它已发展成为一套系统的科学理论。本文应用不同的知识从三个方面：1.不等式明的基本方法；2.不等式明的特殊方法；3.利用高等数学证明不等式的方法综合对若干例题的讲解,初步概括一些证明不等式的若干方法。1不等式证明的基本方法不等式证明的一般方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等[1]。1.1综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：123ABBB…nBB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。例1设fxaxbxca20，若f01，f11，f－11,试证明：对于任意11x，有fx54.分析要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式．本题中，所给条件并不足以确定参数cba,,的值，但应该注意到：所要求的结论也不是xf的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以f01，f11和f－11当成两个独立条件，先用0,1ff和1f来表示cba,,.因为cfcbafcbaf0,1,1,所以0)),1()1((21),0211(21fcffbfffa,不等式证明的若干方法2222102121xfxxfxxfxf.当11x时，2xx，所以，根据绝对值不等式的性质可得2222xxxx，2222xxxx，2211xx.所以222102121xfxxfxxfxf222122xxxxx)1(22222xxxxx.4545)21(122xxx综上，问题获证.用好绝对值不等式及其等号成立的条件，常常可以简化问题，避免讨论。用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。1.2分析法当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：123BBBB…nBA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题1B为真，从而有…，这只需证明2B为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。例2已知:.1ab,01c,且lgalgb1，求证:logaclogbc4lgc.证明欲证logaclogbc4lgc,咸阳师范学院2010届本科毕业论文（设计）3只需证bcaclglglglg4lgc,因为01c,故lg0c.所以只需证lg0a,lg0b.