《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修1-2【配套备课资源】2.2.1

本课时栏目开关填一填研一研练一练2.2.1（一）2.2.1综合法与分析法(一)【学习要求】1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．【学法指导】综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，要结合实例了解两种证法的思考过程、特点.本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点2.2.1（一）1．和是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．综合法是从出发，经过，最后达到待证结论．3．分析法是从出发，一步一步寻求结论成立的________，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实.综合法分析法已知条件逐步的推理待证结论充分条件本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）探究点一综合法问题1证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明因为b2＋c2≥2bc，a0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.特点：从已知条件出发，经过逐步的推理达到待证结论．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）问题2综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）例1在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①由A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝π3，③由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝π3，所以△ABC为等边三角形．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）小结综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）跟踪训练1在△ABC中，ACAB＝cosBcosC，证明：B＝C.证明在△ABC中，由正弦定理及已知得sinBsinC＝cosBcosC.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0，因为－πB－Cπ，从而B－C＝0，所以B＝C.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）探究点二分析法问题1回顾一下：均值不等式a＋b2≥ab(a0，b0)是怎样证明的？答要证a＋b2≥ab，只需证a＋b≥2ab，只需证a＋b－2ab≥0，只需证(a－b)2≥0，因为(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）问题2证明过程有何特点？答从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．小结分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）问题3综合法和分析法的区别是什么？答综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待证结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）例2求证：3＋725.证明因为3＋7和25都是正数，小结当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．所以要证3＋725，只需证(3＋7)2(25)2，展开得10＋22120，只需证215，只需证2125，因为2125成立，所以3＋725成立．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）跟踪训练2求证：a－a－1a－2－a－3(a≥3)．证明方法一要证a－a－1a－2－a－3(a≥3)只需证a＋a－3a－2＋a－1，只需证(a＋a－3)2(a－2＋a－1)2，只需证2a－3＋2a2－3a2a－3＋2a2－3a＋2，只需证a2－3aa2－3a＋2，只需证02，而02显然成立，所以a－a－1a－2－a－3(a≥3)．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）方法二∵a＋a－1a－2＋a－3(a≥3)，∴1a＋a－11a－2＋a－3，∴a－a－1a－2－a－3.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）探究点三综合法和分析法的综合应用问题在实际证题中，怎样选用综合法和分析法？答对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P⇒Q，则结论得证．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）例3已知α，β≠kπ＋π2(k∈Z)，且sinθ＋cosθ＝2sinα，①sinθ·cosθ＝sin2β.②求证：1－tan2α1＋tan2α＝1－tan2β21＋tan2β.证明因为(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1，所以将①②代入，可得4sin2α－2sin2β＝1.③另一方面，要证1－tan2α1＋tan2α＝1－tan2β21＋tan2β，即证1－sin2αcos2α1＋sin2αcos2α＝1－sin2βcos2β21＋sin2βcos2β，本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）即证cos2α－sin2α＝12(cos2β－sin2β)，小结用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：即证1－2sin2α＝12(1－2sin2β)，即证4sin2α－2sin2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.2.1（一）跟踪训练3若tan(α＋β)＝2tanα，求证：3sinβ＝sin(2α＋β)．证明由tan(α＋β)＝2tanα，得sinα＋βcosα＋β＝2sinαcosα，即sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.①要证3sinβ＝sin(2α＋β)，即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即证3[sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα]＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，化简得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.这就是①式．所以，命题成立.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.1（一）1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析①②③⑤正确．C本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.1（一）2．欲证2－36－7成立，只需证()A．(2－3)2(6－7)2B．(2－6)2(3－7)2C．(2＋7)2(3＋6)2D．(2－3－6)2(－7)2解析根据不等式性质，ab0时，才有a2b2，C∴只需证：2＋76＋3，只需证：(2＋7)2(3＋6)2.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.1（一）3．求证：1log519＋2log319＋3log2192.解因为1logba＝logab，所以左边＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.因为log19360log19361＝2，所以1log519＋2log319＋3log2192.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.1（一）4．已知1－tanα2＋tanα＝1，求证：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)．证明要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需证cosα－sinαcosα＋sinα＝3，只需证1－tanα1＋tanα＝3，只需证1－tanα＝3(1＋tanα)，只需证tanα＝－12，∵1－tanα2＋tanα＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－1.∴tanα＝－12，∴结论得证．本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.1（一）1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.本课时栏目开关填一填研一研练一练