必修4-周期现象与周期函数

日复一日，年复一年！人最不能丢的是时间！日出日落、月缺月圆、寒来暑往……自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。再比如人自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况也呈周期变化（称为生物节律）．另外，物理学中也大量存在周期性运动变化，例如匀速圆周运动位置变化的周期性、简谐振动位移变化的周期性、交变电流变化的周期性，等等．那么数学中是如何刻画这种变化规律呢？第一章三角函数§1周期现象与周期函数•同学们：你们有没有见过大海，观看过潮涨潮落相信大家见过的不多，那今天就来看看著名的钱塘江潮。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，波浪每间隔一段时间就会重复出现。这种现象就是我们今天要学到的周期现象。周期现象：某种动作或现象每隔“一段时间”就会重复出现。课堂讨论以小组方式讨论生活中存在的周期现象，各举一例，并指出现象中哪些是变量和常量，哪两个变量存在函数关系，周期是多少？是否满足我们对周期函数的定义？请列举生活中常见的周期现象潮汐钟表红绿灯……迁徙的鸟1.下列现象不是周期现象的是()A．地球围绕太阳转B．地球自转C．星期D．人的一生自主测评D2．今天星期六，再过21天是()A．星期六B．星期日C．星期五D．星期一A变式训练1：今天是星期日，则500天后是星期几？解：由于星期具有周期性，7是一个周期，而500＝7×71＋3，∴500天后是星期三．某港口在某一天水深与时间的对应关系表时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m1:005.09:002.517:006.22:006.210:002.718:005.33:007.511:003.519:004.14:007.312:004.420:003.15:006.213:005.021:002.56:005.314:006.222:002.77:004.115:007.523:003.58:003.116:007.324:004.4每经过相同的时间间隔T（12h），水深就重复出现相同的数值，即H（t+T）=H（t），水深基本上是随着时间周期性变化的。t/hH/m024680816243159211234-1-20xy1…………例已知函数y=f(x),x∈R图像如图所示：(1)f(-2)=；f(-1)=；f(0)=；f(1)=；……f()=；(2)f(-1.5)=；f(0.5)=；f()=……问题1：你能用数学语言描述这个函数的特征吗？f(x+1)=f(x)f(x+n)=f(x)00000.50.500.5n0.5+n周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x+T)=f(x)我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期。(1)只有个别x的值满足，不能说是周期函数；(2)如果f(x)是周期函数，T为其周期，那么，x+kT也属于其定义域；(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，一般我们所说的周期都是指最小正周期。事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它的周期.注意:练习1.已知奇函数f(x)是以5为周期的周期函数，f(－1)＝1，则f(－4)等于()A．1B．－1C．6D．－5解析：∵f(x)为奇函数，f(－1)＝1，∴f(1)＝－1，又f(x)是以5为周期的周期函数．∴f(－4)＝f(－4＋5)＝f(1)＝－1，故选B.答案：B3：有一组数据按如下方式排列：，则以2010到2012箭头的指向为()A．→↓B．↓→C．→↑D．↑→解析：因为箭头指出呈周期性，4是一个周期，故从2008至2012应为：答案：B2已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则()fx()()2TfTTTf()f()f()222T解:根据周期性:TT.0B.C.TD.-22ATTf()f()22又根据奇函数的性质，TTf()f()22TTf()0,f()022即例已知定义在R上的奇函数f(x)是以2为周期的周期函数，求f(1)＋f(2)＋f(3)的值．解：∵f(x)为奇函数，且以2为周期，∴f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0，又f(3)＝f(2＋1)＝f(1)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.变式训练：已知奇函数f(x)的定义域为R，f(1)＝1且f(x)是以3为周期的周期函数，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)．点拨：先求出一个周期内各项之和，再利用周期性求解．解：∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)是以3为周期的周期函数且f(1)＝1，∴f(－1)＝－f(1)＝－1，又f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝0∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝1－1＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝671×0＋f(2014)＋f(2015)＝f(3×671＋1)＋f(3×671＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(－1)＝1－1＝0.规律技巧：已知函数的周期性求某些连续项的和，应先求一个周期内各项的和，再看这些项有多少个周期，余下几项，再利用周期性求和．