习题1-3-行列式的性质

习题1-3行列式的性质第1页共12页1、用行列式的性质计算下列行列式：134215352152809229092；【分析】可见行列式中1，2两列元素大部分数字是相等的，列差同为1000，易于化为下三角行列式，于是，【解法一】3421535215280922909221cc34215100028092100012rr61230280921000下三角6123000。【解法二】3421535215280922909212rr61236123280922909221cc61230280921000下三角6123000。2abacaebdcddebfcfef；【分析】各行、列都有公因，抽出后再行计算。【解】abacaebdcddebfcfef123ardrfrbceadfbcebce123bcccec111111111adfbce1123rrrr111002020adfbce23rr111020002abcdef上三角2(1)2abcdef4abcdef。31111111111111111；【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式，【解】1111111111111111213141rrrrrr1111022200220002上三角3128。习题1-3行列式的性质第2页共12页2、把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：12240413531232051；【解法一】224041353123205121cc224014351323025121rr143522401323025121312rrrr1435062100712025123rr1435011807120251324272rrrr14350118008580071734rr143501180014100717437rr1435011800141000270上三角2(1)1(270)270。【解法二】224041353123205112r1120413523123205121cc112014352132302512131rrrr1120031520403025123rr11200118204030251324242rrrr1120011820042900717432rr1120011820042900141344rr1120011820001350014134rr11200118200141000135上三角221(1)(135)270。习题1-3行列式的性质第3页共12页21234234134124123。【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2，3，4列加到第1列：【解】12342341341241231234()cccc10234103411041210123213141rrrrrr1023401130222011132422rrrr10234011300440004上三角2101(4)160。3、设行列式ijam(,1,2,,5)ij，依下列次序对ija进行变换后，求其结果：交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，再用(-3)乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。【解】1交换第一行与第五行，行列式变号，结果为m；2再转置，行列式的值不变，m；3用2乘所有元素，即5行里每行都有公因2，这等于用52乘以行列式，结果为52m32m；4再用(-3)乘以第二列加到第四列，这是倍加，行列式的值不变，结果仍为32m；5最后用4除第二行各元素，即第二行有公因14，这等于用14乘以行列式，结果为1324m8m。4、用行列式的性质证明下列等式：1111112222233333akbbccakbbccakbbcc111222333abcabcabc；习题1-3行列式的性质第4页共12页【证法一】左边=111112222233333akbbccakbbccakbbcc23cc111122223333akbbcakbbcakbbc12ckc111222333abcabcabc=右边，证毕。【证法二】右边=111222333abcabcabc12ckc111122223333akbbcakbbcakbbc23cc111112222233333akbbccakbbccakbbcc=左边，证毕。【证法三】左边=111112222233333akbbccakbbccakbbcc1c分拆111122223333abccabccabcc[phone]kbbcckbbcckbbcc2c都分拆111222333abcabcabc+111222333accaccacc+111222333kbbckbbckbbc+111222333kbcckbcckbcc2312:=:1cccck第2，4行列式第3行列式111222333abcabcabc+0+0+0=111222333abcabcabc=右边，证毕。2yzzxxyxyyzzxzxxyyz2xyzzxyyzx。【证法一】左边=yzzxxyxyyzzxzxxyyz123()ccc2()2()2()xyzzxxyxyzyzzxxyzxyyz2131rrrr2()00xyzzxxyyxzyyzzx12()xyzc12()00zxxyxyzyxzyyzzx习题1-3行列式的性质第5页共12页2131()()czxccxyc1002()00xyzyxzyyzzx右边=2xyzzxyyzx123()ccc2xyzyzxyzxyxyzzx1()xyzc12()11yzxyzxyzx2131rrrr12()00yzxyzxyyzzyxz2131cycczc1002()00xyzxyyzzyxz23rr1002()00xyzyxzyyzzx，对比即得左边=右边，证毕。【证法二】左边=yzzxxyxyyzzxzxxyyz1c分拆yzxxyxyzzxzxyyz+zzxxyyyzzxxxyyz3121cccc前-后-yzxxxyzzzxyy+zxxyyzzxxyyz2332cccc前-后-yzxxyzzxy+zxyyzxxyz2131rrrr前后xyzyzxzxy－xyzyzxzxy32rr都xyzzxyyzx+xyzzxyyzx2xyzzxyyzx=右边，证毕。5、计算下列行列式：习题1-3行列式的性质第6页共12页1xaaaxaaax；【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2列以后各列加到第1列：【解】设xaaaxaaax为n阶行列式，则每行中有1个x，n-1个a，于是xaaaxaaax=xaaaaaxaaaaaxaaaaaxaaaaax123()ncccc(1)(1)(1)(1)(1)xnaaaaaxnaxaaaxnaaxaaxnaaaxaxnaaaax211ncccc(1)0000000000000000xnaaaaaxaxaxaxa上三角1[(1)]()nxnaxa。21231103112011230123(1)0nnnnnnnn；【分析】该行列式主对角线以下元素与首行元素对应为相反数，因此，将首行加到以下各行，将化为上三角行列式。习题1-3行列式的性质第7页共12页【解】1231103112011230123(1)0nnnnnnnn211ncccc12310262(1)20032(1)2000120000nnnnnnnnn上三角123(1)nn!n。312112122121111nnnnnaaaabaaaabaaaab；【分析】这是为n+1阶行列式。该行列式主对角线以下元素与首行元素对应相等，因此，将首行的-1倍加到以下各行，将化为上三角行列式。【解】12112122121111nnnnnaaaabaaaabaaaab211ncccc12121000000000nnaaabbb上三角12nbbb。4012111100100100naaaa，其中0ia。【分析】为化成上三角行列式，须将0a下方元素全化为0，这样就需要次第地（以一定顺序，一个接一个地），将0a化为-1后加到第1列，将1a化为-1后加到第2列，......，将na化为-1后加到第1列。【解】012111100100100naaaa1211cca01121111000100100naaaaa习题1-3行列式的性质第8页共12页1321cca0121211111000000100naaaaaa............111nncca01212111...111000000000nnaaaaaaa=01121111000000000niinaaaaa上三角12011()nniiaaaaa上述的n次列倍加运算也可以叠加进行：012111100100100naaaa1211111nnccacca01121111000000000niinaaaaa上三角12011()nniiaaaaa6、解下列方程：12211231223023152319xx；习题1-3行列式的性质第9页共12页【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，注意到1，2两行及3，4两行有较多的相同元素，得：左边=221123122323152319xx2143rrrr221123010023150004xx132323cccc223523010000150004xx上三角223(1)(4)xx，原方程为22(1)(4)0xx，即得4个根为1x，2x。21111111111112110111(2)11111(1)xxnxnx；【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，将第一行的-1倍加到以下各行即成为上三角行列式。左边=111111111111211111(2)11111(1)xxnxnx211nrrrr11111000000100000(3)00000(2)xxnxnx上三角(1)(2)[(3)][(2)]xxxnxnx，原方程为(1)(2)[(3)][(2)]0xxxnxnx，即得n-1个根为xk，(0,1,2,,1,2knn。)习题1-3行列式的性质第10页共12页7、设n阶行列式det()ijDa，把D上下翻转，或逆时针旋转90o，或依副对角线翻转，依次得11111nnnnaaDaa，12111nnnnaaDaa，13111nnnnaaDaa，证明(1)/212(1)nnDDD，3DD。【证明】1(1)/21(1)nnDD，这就是将D变换成1D：11111111nnnnnnnnaaaaaaaa，由于把D上下翻转得到1D，翻转变换中，元素ija的列码仍为列码，顺序没变，行码则由顺序123n变成了逆序321n。由于排列123n变成321n要经过(1)(2)21nn(1)2nn次对换，可知把D上下翻转得到1D，须经过(1)2