第10章变形能法

第10章变形能法U=W(8-1)变形能原理：在整个加载过程中，物体的变形能在数值上等于外力做的功。变形能法:采用与变形能的概念有关的定理和原理来解决问题的方法。外部：外力做功W内部：势能变形能U10、1杆件变形能的计算10、2莫尔定理10、3计算莫尔积分的图形互乘法10、4卡氏定理10、5功的互等定理和位移互等定理10.1杆件变形能的计算一、基本变形时的变形能现在来研究在几种基本变形下的变形能计算。1.轴向拉伸或压缩对于等直杆的轴向拉伸或压缩，在线弹性范围内，外力与杆件的轴向变形量呈线性关系。ABoplD(a)p(b)plDa.N为恒值：杆件的变形能为221()222NlEAUWPllEAlDD12WPlD,NlNPlEADb.若内力是呈阶梯形变化的结构的变形能2112mmiiiiiiNlUUEAm:结构的拉压杆件的数目。拉压杆件的单位体积内的变形能（比能或能密度）为221222dUEudVEc.若内力沿杆件的轴线连续变化，即N=N(x),此时杆件的变形能为2()2llNxdxUdUEAABoMj2.圆轴扭转(a)lMjjM外力偶矩所做的功(b)根据U=W，此功等于储存于圆轴中的扭转变形能。圆轴只在两端受外力矩作用时，扭矩为12WMj,,nnpMlMMGIja.Mn为恒值：圆轴的扭转变形能可写为221222pnpGIMlUWMGIljjb.若内力偶矩沿圆轴的轴线连续变化，即，可得到整个圆轴的变形能为(8-4b)2()2nllpMxdxUdUGI()nnMMxc.若内力偶矩沿轴线阶梯形变化，得到整个圆轴的变形能为2112mmniiiiipiMlUUGI(8-4c)圆轴单位体积内的变形能，即纯剪切状态下的比能为(8-5)3.平面弯曲等直悬臂梁的纯弯曲。当集中力偶矩从零开始逐渐增至最终值时，悬臂梁自由端的转角也从零逐渐增至最终值θ图(a)。221222dUGudVG(b)ABoqeMqeMl(a)eMqeMlEIq集中力偶矩在梁变形过程中所作的功a.纯弯曲梁的变形能为(8-6a)12eWMq221222eMlEIUWMEIlqq讨论：b.横力弯曲情况的变形能为2()2llMxdxUdUEI在线弹性范围内，且在静载荷情况下，杆件的变形能可统一表示成(8-7)P：广义力δ：与其相应的广义位移。P：力δ：位移；P：力偶矩δ：角位移。12UWP二、弹性变形能的主要特征(1)一般情况下，变形能不能简单叠加。说明：若用和分别表示由外力P1和P2单独作用时梁的横截面弯矩，那么当共同作用时，梁的弯矩为，变形能为2212221212[()()]()22()()()()22lllllMxMxdxMxdxUEIEIMxdxMxdxMxMxdxEIEIEI1()Mx2()Mx12UUU1212()()lMxMxdxUUEI12()()MxMx(2)变形能仅与外力和位移的最终值有关，而与加载次序无关。(3)当杆件的各段截面不相同或内力由不同函数表示时，应分段计算变形能。(4)杆件是满足虎克定律的线弹性体,如对非线弹性体变形能将变为()nlllUNdlMdMdjqD(5)变形能总是正的三、变形能的普遍表达式表示广义力作用点沿其作用方向上的广义位移，可以写成式中代表由广义力引起的在的作用点沿作用方向上的广义位移，余下类同。而为与结构有关的常数。12iiiiimi1m1i1PiPiP1p2p12mpm…..各载荷所作功之和在数值上等于结构的变形能，即(8-8)这一结论称之为克拉贝隆原理。它可叙述为线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。112miiiUWP四、组合变形时的变形能利用变形能的普遍表达式，可得到承受弯曲、扭转和轴向拉压联合作用的杆件变形能。现于杆件中截取一长为dx的微段，若两端横截面上的轴力、弯矩和扭矩分别、和(对微段dx而言，、和应看成外力)()Mx()nMx()Nx()Mx()nMx()Nxdx()Nx()nMx()nMx()Mx()Mx()Nx两个端截面间的相对轴向位移、相对转角和相对扭转角分别为、和。由于、和各自引起的变形是相互独立的，那么按式（8-8），微段dx内的变形能应为于是整个组合变形杆件的变形能为上式的积分，即（8-9）dqdj()Nx()Mx()nMx111()()()()222ndUNxdlMxdMxdqjD222()()222nllllnMdxNxdxMxdUdUEAEIGIq()dlD222()()222nnMdxNxdxMxdxEAEIGI例1:试求图所示的正方形桁架结构的变形能，并求A、C两点的相对位移。已知各杆的抗拉压刚度EA相同。解：轴力为：变形能为：22ABBCCDADNNNNP22225124(1)2222iiABiBDiiNlNlNlPlUEAEAEAEABACDpplBDNP例1:试求图所示的正方形桁架结构的变形能，并求A、C两点的相对位移。已知各杆的抗拉压刚度EA相同。外力做的功为因为U=W,故有由此可以求出12ACWP21(22)2ACPlPEA(22)ACPlEABACDppl例2:图为一平面刚架，试求A端的竖直位移。解AB段：BC段：变形能为：11()MxPx2()MxPa刚架的抗弯刚度与抗拉刚度分别为EI和EA222112222000()()()22allMxdxMxdxNxdxUEIEIEA1()0Nx2()Nxp2221122000()()22allPxdxPadxPdxEIEIEA22()(1)232PaaPlEIEApBACal2X1x变形能：A截面竖直位移：221()(1)2232APaaPlWPUEIEA2(1)232APaaPlEIEA例2:图为一平面刚架，试求A端的竖直位移。若a=l,且各杆横截面为直径等于d的圆形，l=10d,pBACal2X1x343APlPlEIEA得：例2:图为一平面刚架，试求A端的竖直位移。上式括号内的第二项小于0.05%，故在求解抗弯杆件结构的变形或位移时，一般可以不考虑轴力的影响。3243(1)34PlIEIAl343(1)36400PlEIpBACal2X1x例3:图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：由图b可以看出，截面mn上的扭矩和弯矩分别为APROjdjpAmRmndj(b)j(1cos)nMPRjsinMPRj变形能为:整个曲杆的变形能:dUUmndj(b)j例3:图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。2222npMRdMRdGIEIjj23223(1cos)sin22pPRdPRdGIEIjjjj2323344pPRPRGIEI2322300(1cos)sin22pPRdPRdGIEIjjjjsdU设A的竖直位移为,在变形过程中，外力所做的功在数值上等于曲杆的变形能，即:由此求得:AWA例3:图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。mndj(b)j2323344pPRPRGIEI12APU33322pPRPRGIEI10.2莫尔定理莫尔定理是一种能够求解在复杂载荷作用下的结构任一处广义位移的有效工具。现在以梁为例，利用变形能的概念和特性来导出莫尔定理。假设梁在外力,……作用下发生弯曲变形，如图a所示。今要确定在上述外力作用下，梁上任意一点C的挠度。2()2lMxdxUEI12C1p2pAB(a)首先由外力可求得梁的弯矩M(x),进而求出变形能U….在C点作用一个单位力此时梁的弯矩为而梁内储存的变形能为接着将，…重新加到梁上。在，…重新加载的过程中，单位力又完成了数值为的功。于是在图c的情况下，梁的变形能为020[()]2lMxdxUEI(b)BAC0p010()Mx122100100UUUP0p2p1pCBA(c)….因为在和…共同作用下的弯矩为，所以还可以表示为两式是相等的，即：021[()()]2lMxMxUdxEI0200[()()]2lMxMxUUdxEI0P12，0()()MxMx2020()[()]2()()222lllMxMxMxMxdxdxdxEIEIEI考虑可得：这就是莫尔定理也称莫尔积分。莫尔定理还可以求解平面曲杆的弯曲变形，对于小曲率曲杆，可把莫尔积分推而广之，得到求曲杆弯曲变形的莫尔积分00()()lMxMxPdxEI0()()sMsMsdsEI01利用莫尔定理计算桁架节点位移公式（8-12）计算组合变形结构位移的莫尔公式：01miiiiiNNlEA01()()miiliiMxMxdxEI0011()()()()mmniniiilliiniiMxMxNxNxdxdxGIEA使用莫尔定理的注意事项：④M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。⑤莫尔积分必须遍及整个结构。②M0(x)——去掉主动力，在所求广义位移点，沿所求广义位移的方向加广义单位力时，结构产生的内力。①M(x)：结构在原载荷下的内力。③所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。例：已知梁的抗弯刚度EI为常量，试用莫尔定理计算自由端A截面的挠度和转角。2()2qxMxxlqA(a)x1(b)由单位力引起的弯矩为0()Mxx解悬臂梁的弯矩方程为按莫尔定理得A截面的挠度为240()()28lqxdxqlxEIEIxlqA(a)x1(b)例：已知梁的抗弯刚度EI为常量，试用莫尔定理计算自由端A截面的挠度和转角。00()()lAMxMxfdxEIx1(c)由单位力偶引起的弯矩为:0()1Mx由莫尔定理得00()()lAMxMxdxEIqxlqA(a)x1(b)例：已知梁的抗弯刚度EI为常量，试用莫尔定理计算自由端A截面的挠度和转角。2301()(1)26lqxqldxEIEI例：桁架中各杆的抗拉(压)刚度EA均相同，试求B、D两点间的相对位移。31452llP2PDACB31452llDA111CB051iiiBDiiNNlEA例圆截面钢架受力如图a所示，整个钢架的抗扭刚度分别为和EI，若不计剪力对变形的影响，试求钢架C截面沿竖直方向的位移。pGIABlq(a)Cl在计算钢架内力时，各段内力的正负可仍遵循杆件在各种基本变形下的内力的符号规定。BC段AB段211()2qxMx011()Mxx22()Mxqlx22()2nqlMx022()Mxx02()nMxl1x2x2x1x(b)ABC1ABl(a)Clq可以求得C截面的数值位移为221122212000()()()()()()22lllpqxqlxldxqlxxdxdxEIEIGI000112222212000()()()()()()lllnnCpMxMxMxMxMxMxdxdxdxEIEIGI4411242pqlqlEIGI例试求A的竖直位移及转角。抗弯刚度EI为常数()(1cos)MPRjjpAdsdjjR(a)解曲杆由载荷引起的弯矩为在A点作用一个集中力得弯矩0()(1cos)MRjjA1(b)0()()AlMsMsdsEI例试求A的竖直位移及转角。抗弯刚度EI为常数A点的竖直位移为pAdsdjjR(a)A1(b)322013(1cos)2PRPRRdEIEIjj00()()MMRdEIjjj0()()AsMsMsdsEI