1.1.1正弦定理

主讲老师：张胜波1.1.1正弦定理想一想？新课引入问题1在建设水口电站闽江桥时,需预先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量点C,测得CB=435m,∠CBA=88°,∠BCA=42°。由以上数据，能测算出桥长AB吗？这是一个什么数学问题?ABC8845m435解三角形——已知三角形的某些边和角，求其他的边和角.新课引入问题2解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？“a＞b＞c←→A＞B＞C”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？正弦定理新课讲授问题3在直角三角形ABC中，对应边依次为a,b,c，求证：CcBbAasinsinsin在直角三角形ABC中ABCabccbBcaAsin,sinBsinbAsinacCsinc那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？可分为直角三角形，锐角三角形，钝角三角形三种情况分析.问题4【猜想与推广】当△ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,CABDabcBbAasinsin同理，做BC边上的高可得BbCcsinsinCD=asinB=bsinA,则E所以，CcBbAasinsinsinAE=bsinC=csinB即：sin斜对对=斜sinθ(θ为锐角)当△ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,sinBbsinAa同理，做BC边上的高可得BbCcsinsinCD=asinB=bsinA,则所以，CcBbAasinsinsinＡＢＣＤacbEAE=bsin∠ACE=bsinC=csinB即：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即CcBbAasinsinsin＝＝asinAbsinBcsinC＝2R.=2RbsinBB`ABCbOABCbOB`ABCbO．．．RBbBb2sinsin'BBRbsinsin2'在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即为外接圆半径RRCcBbAa2sinsinsin变式:AaCcCcBbBbAasinsin;sinsin;sinsin1cbaCBA::sin:sin:sin2CcBbAasinsinsin)3()0(sinsinsinkkCBAcba.0sinsinsin）（，，或kCkcBkbAka问题6定理结构上有什么特征，有哪些变形式？（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如BAbasinsinBbaAsinsin从理论上,正弦定理可解决两类问题:•两角和任意一边,求其他两边和一角•两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角讲解范例：例1.在△ABC中，已知A＝30o，B＝75o，a＝42cm，解三角形.讲解范例：例2.在△ABC中，已知a＝28cm，b＝56cm，A＝30o，解三角形。22思考：为什么有两个解呢？何时有两个解？例3.在△ABC中，已知a＝√3cm，b＝√2cm，B＝45°，解三角形。归纳：1.如果已知的A是直角或钝角，a＞b，只有一解；2.如果已知的A是锐角，a＞b，或a=b，只有一解；3.如果已知的A是锐角，a＜b，(1)a＞bsinA，有二解；(2)a＝bsinA，只有一解；(3)a＜bsinA，无解.判断满足下列的三角形的个数:(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o两解一解两解无解√230°练习ABC中，解三角形：（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°，则a＝____，（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，则B＝____，75°或15°（3）已知c=√6,A＝45°,a＝2，则B=课堂练习4.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为（）A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形教材P4第1、2题课堂小结1.定理的表示形式：CcBbAasinsinsin)0(sinsinsinkkCBAcba.0sinsinsin）（，，或kCkcBkbAka课堂小结2.正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。