概率论与数理统计教程(茆诗松)第三章

第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第1页§3.1多维随机变量及其联合分布§3.2边际分布与随机变量的独立性§3.3多维随机变量函数的分布§3.4多维随机变量的特征数§3.5条件分布与条件期望第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第2页3.3.1多维随机变量定义3.1.1若X,Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X,Y)是两维随机变量.同理可定义n维随机变量(随机向量).§3.1多维随机变量及其联合分布第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第3页定义3.1.23.1.2联合分布函数F(x,y)=P(Xx,Yy)为(X,Y)的联合分布函数.(以下仅讨论两维随机变量)任对实数x和y,称注意：F(x,y)为(X,Y)落在点(x,y)的左下区域的概率.第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第4页X1X2x1x2(x1,x2)第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第5页联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于x和y分别单调增.(2)0F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)=0，F(+,+)=1.(3)F(x,y)关于x和y分别右连续.(4)当ab,cd时，有F(b,d)F(b,c)F(a,d)+F(a,c)0.注意：上式左边=P(aXb,cYd).(单调性)(有界性)(右连续性)(非负性)第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第6页二维离散随机变量3.1.3联合分布列若(X,Y)的可能取值为有限对、或可列对，则称(X,Y)为二维离散随机变量.第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第7页二维离散分布的联合分布列称pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,...,为(X,Y)的联合分布列，其表格形式如下:YXy1y2…yj…x1x2…xi…p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第8页联合分布列的基本性质(1)pij0,i,j=1,2,…(2)pij=1.(非负性)(正则性)第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第9页确定联合分布列的方法(1)确定随机变量(X,Y)的所有取值数对.(2)计算取每个数值对的概率.(3)列出表格.第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第10页例3.1.1将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数。求(X,Y)的联合分布列.XY0413223140P(X=0,Y=4)=1340.50.5CP(X=2,Y=2)=22240.50.5C=1/4=6/16P(X=3,Y=1)=33140.50.5C=1/4P(X=4,Y=0)=0.54=1/16P(X=1,Y=3)=0.54=1/16解：概率非零的(X,Y)可能取值对为:其对应的概率分别为：第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第11页X01234Y01234列表为：00001/160001/40006/160001/40001/160000第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第12页例3.1.2设随机变量Y~N(0,1),120,||10,||2,1,||11,||2YYXXYY解:(X1,X2)的可能取值数对及相应的概率如下：P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=P(|Y|≥2)=22Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|2)=P(1≤|Y|2)=2[Φ(2)Φ(1)]=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|≥2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2)=P(|Y|1)=0.6826求的联合分布列.第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第13页列表为：X101X2010.04550.271900.6826第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第14页课堂练习设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1到X中等可能地取一整数值。试求（X,Y）的联合分布列.第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第15页设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数p(x,y)，使得3.1.4联合密度函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量。称p(x,y)为联合密度函数。第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第16页联合密度函数的基本性质(1)p(x,y)0.(非负性)(2)注意：(,)(,)ddDPXYDpxyxy(正则性)第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第17页一、多项分布3.1.5常用多维分布若每次试验有r种结果：A1,A2,……,Ar记P(Ai)=pi,i=1,2,……,r记Xi为n次独立重复试验中Ai出现的次数.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第18页二、多维超几何分布从中任取n只，记Xi为取出的n只球中，第i种球的只数.口袋中有N只球，分成r类。第i种球有Ni只，N1+N2+……+Nr=N.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第19页三、二维均匀分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：则称(X,Y)服从D上的均匀分布，记为(X,Y)U(D).其中SD为D的面积.第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第20页四、二维正态分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)N().第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第21页第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第22页例3.1.3若(X,Y)～(23),0,0(,)0,xyAexypxy其它试求常数A.第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第23页解:(23)00ddxyAexy所以,A=62300ddxyAexey23110023xyAee=A/6第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第24页例3.1.4若(X,Y)～(23)6,0,0(,)0,xyexypxy其它试求P{X2,Y1}.第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第25页xy解:P{X2,Y1}21{2,1}(,)ddxypxyxy{x2,y1}21(23)00d6dxyxey2123006ddxyexey23211160023xyee4311ee第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第26页例3.1.5若(X,Y)～(23)6,0,0(,)0,xyexypxy其它试求P{(X,Y)D},其中D为2x+3y≤6.第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第27页322x+3y=6{(,)}PXYD2x3y6(,)ddpxyxyxy013(62)(23)300d6dxxyxey3230(62)/3016d3xyxeex32602()dxeex617e解:第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第28页§3.2边际分布与随机变量的独立性问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，如何求出X和Y各自的分布？第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第29页3.2.1边际分布函数巳知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则YFY(y)=F(+,y).XFX(x)=F(x,+),第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第30页3.2.2边际分布列巳知(X,Y)的联合分布列为pij，则X的分布列为：Y的分布列为：第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第31页XY12jyyy12ixxx111212122212jjiiijpppppppppip12ipppjp12jppp第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第32页3.2.3边际密度函数巳知(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)，则X的密度函数为：Y的密度函数为：第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第33页由联合分布可以求出边际分布.但由边际分布一般无法求出联合分布.所以联合分布包含更多的信息.注意点(1)第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第34页二维正态分布的边际分布是一维正态：若(X,Y)N()，注意点(2)则XN()，YN().二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第35页例3.2.1设(X,Y)服从区域D={(x,y),x2+y21}上的均匀分布，求X的边际密度p(x).解:由题意得2211(,)0xypxy其它xy-112x1y21yx当|x|1时，p(x,y)=0，所以p(x)=0当|x|≤1时,22111d()xxypx221x不是均匀分布第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第36页例3.2.2设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,0(,)0,yexypxy其他求概率P{X+Y≤1}.解:P{X+Y≤1}=y=xx+y=11/21/210ddxyxxey11212ee第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第37页若满足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pipjiii)p(x,y)=pX(x)pY(y)则称X与Y是独立的，3.2.4随机变量间的独立性第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第38页(1)X与Y是独立的其本质是：注意点,PaXbcYdPaXbPcYd任对实数a,b,c,d，有(2)X与Y是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第39页例3.2.3(X,Y)的联合分布列为:X01Y010.30.40.20.1问X与Y是否独立？解:边际分布列分别为:X01P0.70.3Y01P0.50.5因为(0,0)0.3PXY(0)(0)0.70.50.35PXPY所以不独立第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第40页例3.2.4已知(X,Y)的联合密度为,0,0;(,)0,.xyexypxy其他问X与Y是否独立？()0d0()00xyxeyexpxx,0()0,0yeypyy所以X与Y独立。注意：p(x,y)可分离变量.解:边际分布密度分别为:第三章多维随机变量及其分布华东师范大学23March2020第41页注意点(1)(1)(X,Y)服从矩形上的均匀分布，则X与Y独立.(2)(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，则X与Y不独立.见前面例子(3)联合密度p(x,y