在职研究生考试数学测试练习题

在职研究生考试数学测试练习题微积分（1）设)(xy是微分方程xeyxyxy2)1(的满足0)0(y，1)0(y的解，则20)(limxxxyx（）（A）等于0.（B）等于1.（C）等于2.（D）不存在.解2000()()1()1limlimlim(0)222xxxyxxyxyxyxx，将0x代入方程，得2(0)(1)(0)(0)1yxyxy，又0)0(y，1)0(y，故(0)2y，所以20()lim1xyxxx，选择B.（2）设在全平面上有0),(xyxf，0),(yyxf，则保证不等式1122(,)(,)fxyfxy成立的条件是（）（A）21xx，21yy.（B）21xx，21yy.（C）21xx，21yy.（D）21xx，21yy.解(,)0(,)fxyfxyx关于x单调减少，(,)0(,)fxyfxyy关于y单调增加，当21xx，21yy时，112122(,)(,)(,)fxyfxyfxy，选择A.（3）设)(xf在),(存在二阶导数，且)()(xfxf，当0x时有()0fx，()0fx，则当0x时有（）（A）0)(,0)(xfxf.（B）0)(,0)(xfxf.（C）0)(,0)(xfxf.（D）0)(,0)(xfxf.解【利用数形结合】)(xf为奇函数，当0x时，)(xf的图形为递减的凹曲线，当0x时，)(xf的图形为递减的凸曲线，选择D.（4）设函数)(xf连续，且(0)0f，则存在0，使得（）（A）在(0,)内单调增加（B）在(,0)内单调减少（C）对任意的(0,)x，有()(0)fxf（D）对任意的(,0)x，有()(0)fxf解【利用导数的定义和极限的保号性】0()(0)(0)lim0xfxffx，由极限的的保号性，(0,)U，在此邻域内，()(0)0fxfx，所以对任意的(,0)x，有()(0)fxf，选择D.(5)函数在下列哪个区间内有界.(A)(1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).[A]【分析】如f(x)在(a,b)内连续，且极限与存在，则函数f(x)在(a,b)内有界.【详解】当x0,1,2时，f(x)连续，而，，，，，所以，函数f(x)在(1,0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在闭区间[a,b]上有界；如函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且极限与存在，则函数f(x)在开区间(a,b)内有界.（6）设f(x)在(,+)内有定义，且，2)2)(1()2sin(||)(xxxxxxf)(limxfax)(limxfbx183sin)(lim1xfx42sin)(lim0xfx42sin)(lim0xfx)(lim1xfx)(lim2xfx)(limxfax)(limxfbxaxfx)(lim，则(A)x=0必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.(C)x=0必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.[D]【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为=a(令)，又g(0)=0，所以，当a=0时，，即g(x)在点x=0处连续，当a0时，，即x=0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(7)设f(x)=|x(1x)|，则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.0,00,)1()(xxxfxg)(lim0xgxxu1)(lim0xgx)(limxfx)(lim)1(lim)(lim00ufxfxguxxxu1)0()(lim0gxgx)0()(lim0gxgx(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.[C]【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设01，当x(,0)(0,)时，f(x)0，而f(0)=0，所以x=0是f(x)的极小值点.显然，x=0是f(x)的不可导点.当x(,0)时，f(x)=x(1x)，，当x(0,)时，f(x)=x(1x)，，所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(8)设有下列命题：(1)若收敛，则收敛.(2)若收敛，则收敛.(3)若，则发散.(4)若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).[B]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.02)(xf02)(xf1212)(nnnuu1nnu1nnu11000nnu1lim1nnnuu1nnu1)(nnnvu1nnu1nnv【详解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n)，所以发散.(4)是错误的，如令，显然，，都发散，而收敛.故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(9)设在[a,b]上连续，且，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点，使得f(a).(B)至少存在一点，使得f(b).(C)至少存在一点，使得.(D)至少存在一点，使得=0.[D]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知在[a,b]上连续，且，则由介值定理，至少存在一点，使得；另外，，由极限的保号性，至少存在一点nnu)1(1nnu1212)(nnnuu1lim1nnnuunu1nnunvnunn1,11nnu1nnv1)(nnnvu)(xf0)(,0)(bfaf),(0bax)(0xf),(0bax)(0xf),(0bax0)(0xf),(0bax)(0xf)(xf0)(,0)(bfaf),(0bax0)(0xf0)()(lim)(axafxfafax),(0bax使得，即.同理，至少存在一点使得.所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.（10）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A).(B).(C).(D).[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，，故应选(Ａ).（11）设函数在处连续，且，则(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在[C]【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性.【详解】由知，.又因为在处连续，则.0)()(00axafxf)()(0afxf),(0bax)()(0bfxf()yfx()0,()0fxfxxx0xdyy与()fx0x0x0dyy0dyyd0yyd0yy()0,()0fxfx()fx()yfx()yfx0x00d()d()0yyfxxfxxfx0x220lim1hfhh000ff且010ff且000ff且010ff且220lim1hfhh(0)f(0),(0)ff220lim1hfhh20lim0hfhfx0x200(0)lim()lim0xhffxfh令，则.所以存在，故本题选（C）.（12）若级数收敛，则级数(A)收敛.（B）收敛.(C)收敛.(D)收敛.[Ｄ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(Ｄ).或利用排除法：取，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.（13）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）.（Ｂ）.（Ｃ）.（Ｄ）[Ｂ]【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解为，故应选(Ｂ).2th2200(0)1limlim(0)htfhftffht(0)f1nna1nna1(1)nnna11nnnaa112nnnaa1nna11nna112nnnaa1(1)nnan1(1)nnan()()yPxyQx12(),(),yxyxC12()()Cyxyx112()()()yxCyxyx12()()Cyxyx112()()()yxCyxyx12()()yxyx()0yPxy12()()YCyxyx1112()()()()yyxYyxCyxyx【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：.其中是所给一阶线性微分方程的特解，是对应齐次微分方程的通解.（14）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若，则.(B)若，则.(C)若，则.(D)若，则.[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则，即.消去，得,整理得.（因为），若，则.故选（Ｄ）.线性代数（1）二次型222123123121323(,,)44448fxxxxxxxxxxxx的规范型是（）.*yyY*yY(,)(,)fxyxy与(,)0yxy00(,)xy(,)fxy(,)0xy00(,)0xfxy00(,)0yfxy00(,)0xfxy00(,)0yfxy00(,)0xfxy00(,)0yfxy00(,)0xfxy00(,)0yfxy(,,)(,)(,)Fxyfxyxy000(,,)xy000,xy(,,)(,)(,)Fxyfxyxy00,xy0000000(,,)0(,,)0xyFxyFxy0000000000(,)(,)0(,)(,)0xxyyfxyxyfxyxy000000000(,)(,)(,)(,)0xyyxfxyxyfxyxy000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyfxyxyxy(,)0yxy00(,)0xfxy00(,)0yfxy（A）222123fzzz.（B）222123fzzz.（C）2212fzz.（D）21fz.解二次型的规范型由它的正负惯性指数确定，二次型的矩阵122244244A