一函数极限连续课件

一、函数、极限、连续三、多元函数微分学二、导数与微分微分学四、微分学应用)(xfyyxoD一、函数、极限、连续1.函数定义:定义域值域设函数为特殊的映射:其中定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。函数的特性13)(xxf有界性,单调性,奇偶性,周期性复合函数(构造新函数的重要方法)初等函数由基本初等函数经有限次四则运算与有限次复合而成且能用一个式子表示的函数.例如.函数1)13(31)(3)]([xxfxff基本初等函数:常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数2极限Axf)(极限定义的等价形式(以为例)0xx极限存在准则及极限运算法则的无穷小为其中0)(xxAxf无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:两个重要极限xsin～;x～xcos1～;221x～xarcsin～;x～1xe～;x～1)1(x～;xexexxxxxxxx100)1(lim,)11(lim,1sinlim等价无穷小代换)()(lim)3xFxfax存在(或为))()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与axFxf定理(洛必达法则)说明:定理中ax换为,ax,ax,xx,x之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.)(或为洛必达法则3.连续与间断函数连续的定义)()(lim00xfxfxx)()()(000xfxfxf函数间断点第一类（左右极限存在）第二类（左右极限至少有一个不存在）可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点重要结论：初等函数在定义区间内连续例3.设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:20)cos1(lim)0(xxafx2a221~cos1xx)(lnlim)0(20xbfxblnbaln122e有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,)1)((lim0xaxbexx所以bexaxxx)1)((lim0ba101,0ba为可去间断点,)1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例4.设函数试确定常数a及b.二、导数和微分导数定义:当时,为右导数当时,为左导数微分:关系:可导可微导数几何意义:切线斜率1.有关概念例5.设)(xf在2x处连续,且,32)(lim2xxfx求.)2(f解:)2(f)(lim2xfx])2()()2[(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx32.导数和微分的求法正确使用导数及微分公式和法则（要求记住！）隐函数求导法参数方程求导法高阶导数的求法(逐次求一阶导数）例6.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因x=0时y=0,故确定的隐函数例7.求解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan)(2xy)(2sinxe2sinxe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sinxe2cosx2sinxe112xx关键:搞清复合函数结构由外向内逐层求导三、多元函数微分法0),,(zyxF1.多元显函数求偏导和高阶偏导2.复合函数求偏导注意正确使用求导符号3.隐函数求偏导将其余变量固定，对该变量求导。zyzxFFyzFFxz,4.全微分zdyyxfxyxfyxd),(d),(5.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续例8.求223yyxxz解法1:xz)2,1(xz解法2:)2,1(xz在点(1,2)处的偏导数.)2,1(yz,32yxyzyx23)2,1(yz462xx1xz231yy2yz解：设zzyxzyxF4),,(222则,2xFxzxFFxz2zxzx242zFz,04222zzyx.xz求例9.设拉格朗日中值定理)()(bfaf四、导数与微分的应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理0)(fxyoab)(xfy)()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF柯西中值定理xxF)(xyoab)(xfy0n函数单调性的判定及极值求法若定理1.设函数则在I内单调递增,)0)((xf(递减).在开区间I内可导,3.函数的性态:2.导数的几何意义极值第一判别法,)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,,0时由小到大通过当xx(1))(xf“左正右负”,;)(0取极小值在则xxf(2))(xf“左负右正”,.)(0取极大值在则xxf极值第二判别法二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.例10.确定函数的单调区间.解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故的单调增区间为,)1,();,2(的单调减区间为).2,1(12xoy12例11.求函数的极值.解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别因,06)0(f故为极小值;又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.1xy1定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数凹弧凸弧的分界点为拐点)(3632xx例12.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0y得,,03221xx对应3)列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32yxy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32)1,0(),(271132的连续性及导函数例13.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为;极小值点为;极大值点为.)(xf),0(),,(21xx),(),0,(21xx21,xx0x提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为;o2x1xyxox)(xf1x2xo)(xfx.在区间上是凸弧;拐点为),0(),,(21xx))0(,0(,))(,(,))(,(2211fxfxxfx提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间上是凹弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,),(),0,(21xx)(xfo2x1xyx2x1x曲线方程为参数方程切线方程000zzyyxx),,(0000zyxMtt对应设)(0t)(0t)(0t))(,)(,)((000tttT切向量法平面方程0))(())(())((000000zztyytxxt4.多元函数微分法的应用(1)在几何中的应用求曲线的切线及法平面)(),,(0000xxzyxFx曲面在点M的法向量法线方程000zzyyxx)(),,(0000yyzyxFy0))(,,(0000zzzyxFz切平面方程),,(000zyxFx),,(000zyxFy),,(000zyxFz)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx0),,(:zyxF)(),(000xxyxfx法线方程有在点),,(000zyx当光滑曲面的方程为显式)(),(000yyyxfy0zz切平面方程上求一点,使该点处的法线垂直于例14.在曲面并写出该法线方程.提示:设所求点为则该点的法向量为利用113100xy得3,1,3000zyx平面000yxz法线垂直于平面点在曲面上)1,,(00xyn说明:使偏导数都为0的点称为驻点.极值必要条件函数偏导数,0),(,0),(0000yxfyxfyx但驻点不一定是极值点.且在该点取得极值,则有存在(2)极值与最值问题极值的必要条件与充分条件时,具有极值极值充分条件的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0时取极大值;A0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02BAC02BAC极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx中解出从条件))(,(xxfz引入辅助函数则极值点满足:),(),(yxyxfF方法2拉格朗日乘数法.,0),(下在条件yx.),(的极值求函数yxfz解该方程组，得极值点。例15.要设计一个容量为0V则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件02zyyz02zxxz0)(2yxyx00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为,340Vxyz