郑州大学-自动控制原理第二章PPT

1第二章控制系统的数学模型2.1引言2.2控制系统微分方程式的建立2.3传递函数2.4控制系统的方块图和传递函数2.5非线性方程的线性化2一、定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。二、用途：1）分析实际系统2）预测物理量3）设计控制系统2.1引言3三、表达形式时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图频域：频率特性线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换4四、建立控制系统数学模型的方法：分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。51、分析法建立系统数学模型的几个步骤：建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。62、实验法－基于系统辨识的建模方法黑匣子输入（已知）输出（已知）已知知识和辨识目的实验设计--选择实验条件模型阶次--适合于应用的适当的阶次参数估计--最小二乘法模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近7式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量。)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn※一般形式2.2控制系统微分方程式的建立对于单输入-单输出线性定常系统：8确定系统的输入量和输出量。根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件的运动方程。消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式。列写系统运动方程的步骤:9例1：如图所示的RLC电路，试建立以电容上电压uc(t)为输出变量，输入电压ur(t)为输入变量的运动方程。RLCur(t)uc(t)i(t)10解：依据电学中的基尔霍夫电压定律有：()()()(),(1)rcditutRitLutdt()()(2)CdutitCdt22()()()()CCCrdutdutLCRCututdtdt由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)RLCur(t)uc(t)i(t)11例2：如图所示电路，试建立以电压ui(t)为输入变量，电压uo(t)为输出变量的运动方程。解：依据电学中的基尔霍夫电流定律有：()()0ioutdutCRdt整理后得()()oidutRCutdt或()()oidutTUtTRCdt12u1(t)u2(t)R1R0R2C1C2u3(t)思考题13例3.机械平移系统输入F(t)，输出y(t)，列写系统的运动方程。mkF(t)位移y(t)弹簧阻尼系数f阻尼器解：依据牛顿第二定律——物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积Fma取向下为力和位移的正方向。140210()()mgkydytFfdtFkyty12()FtFFmgma22()()()()dytdytmfkytFtdtdt整理得到：mF1(弹簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力mg重力22()()()()dytdytFtkytfmdtdt代入得1522()()()()cccrdutdutLCRCututdtdt22()()()()dytdytmfKytFtdtdtRLC无源网络弹簧-质量-阻尼器机械系统16※物理结构不同的元件或系统,可以具有相同形式的数学模型,例如，前述的RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程，我们称之为相似系统.相似系统揭示了不同物理现象间的本质相似关系，利用它可以(1)用一个简单系统去研究与其相似的复杂系统;(2)为控制系统的计算机数字仿真提供了基础.(3)二阶系统是一个十分典型的、有代表性的系统.17例4.机械转动系统以T为输入，分别列写以为输出和以为输出的运动方程。TfzTBTf解：依据牛顿转动定律有BfzdJTTTdtBTf18整理得：fzdJfTTdt又ddt所以22fzddJfTTdtdt19※根据上述的例子，可以得到列写系统微分方程的一般步骤：1）确定系统的输入、输出变量；2）根据已知的物理或化学定律，写出运动过程的微分方程；3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；4）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。202.3传递函数一.传递函数的定义是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变换法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－--传递函数。定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。)()(sRsC零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换传递函数21式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为：于是，由定义得系统传递函数为：)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn)(][)(][11101110sRasbsbsbsCasasasammmmnnnn设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：22mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)()()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm23二.传递函数的几点说明1.线性定常系统或元件的运动方程与传递函数一一对应，它们是在不同域对同一系统或元件的描述。2.传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，它与其输入信号的形式无关，但和输入信号的作用位置及输出信号的取出位置有关。24))......(2)(1P-(S))......(2)(1Z-(SkG(S)nPSPSmZSZS3.传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数n大于等于分子多项式的次数m,即nm4.传递函数写成的形式，则和为G(S)的零点和极点。mZZZZ321,,nPPPP321,,5.物理结构不同的系统可以有相同的传递函数。25关于拉普拉斯(Laplace)变换复习261常用函数拉氏变换表f(t)F(s)(t)11(t)1/st1/s2tn-1/(n-1)!1/sne-at1/(s+a)sint/(s2+2)costs/(s2+2)1b－a(e-at－e-bt)1/(s+a)(s+b)27②位移定理)()(sFetfLs2基本定理设F(s)=L[f(t)],F1(s)=L[f1(t)],F2(s)=L[f2(t)],α,β为常数①线性定理)()()()(2121sFsFtftfL③微分定理)0()()(fssFdttdfL)0()0()0()0()()()1()2(21nnnnnnnfsffsfssFsdttfdL28当f(t)及其各阶导数的初始值都为零时：④终值定理：)(lim)(lim)(0sFstffst)(])([sFsdttfdLnnn29三、典型环节的传递函数1、比例环节：其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示式中K——环节的放大系数，为一常数。传递函数为：()()ytKrt()()()YsGsKRs特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。30比例环节举例实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等312、惯性环节：其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示()()()dytTytrtdt传递函数为：()1()()1YsGsRsTs式中T——环节的时间常数。特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即发现，输出无振荡。实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。323、积分环节：其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示()()ytrtdt传递函数为：()1()()YsGsRss特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。334、理想微分环节：是积分的逆运算，其输出量和输入量的关系，由下式来表示()()drtytdt传递函数为：()()()YsGssRs注意：一阶微分：二阶微分：()1GsS22()21GsSS34特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。微分环节：355、振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的二阶微分方程式来表示。222()()2()()dytdytTTytKrtdtdt传递函数为：特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。1212)(22222TSSTSSsGnnn)10(式中：ξ－阻尼比；-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）nnT1366、延迟环节：其输出量和输入量的关系，由下式来表示()()1()ytrtt传递函数为：()()()sYsGseRs式中——延迟时间特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。37四、电气网络的运算阻抗与传递函数例1：如图所示的RC电路，电压u1(t)和u2(t)分别是输入量和输出量，求该电路的传递函数。RCRCRC1()ut2()ut38RRR1CS1()US2()US211()1()1()1USCSGSUSRCSRCS39例2：如图所示电路，电压ui(t)和uo(t)分别是输入量和输出量，求该电路的传递函数。解：1()1()()oiUSCSGSUSRRCS402.4控制系统的方块图和传递函数41一、动态方块图的概念和绘制1、组成＊信号流线：有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。()Us＊分支点：信号引出或测量的位置。()Us()Us()Us注：从同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同42＊相加点：对两个或两个以上的信号进行代数运算，“＋”表示相加，常省略，“－”表示相减。()Rs()Bs()Us＊函数方块：表示典型环节或其组合，框内为对应的传递函数，两侧为输入、输出信号线。()Gs()Rs()Ys()()()YsRsGs432、动态方块图的绘制（举例说明）例：建立如图所示的双T网络的动态结构图。i1R1u1R2i2urC1C2uc441）建立系统方程i1R1u1R2i2urC1C2uc221()()CusIssC2121()[()()]CIsususR11211()[()()]usIsIssC1111()[()()]rIsususR①②③④452）绘出系统的动态方块图221()()CusIssC2121()[()()]CIsususR11211()[()()]usI