同角三角函数的基本关系式——教学设计(佛山市高明区技工学校钟美珍)

12012全省技工院校优秀教案评选活动参评教案课程名称：数学课题：同角三角函数的基本关系式作者姓名：钟美珍、黄志均单位：广东省佛山市高明区技工学校通讯地址：广东省佛山市高明区技工学校（富湾校区）邮政编码：528531联系电话：[phone]课程名称数学授课章节（教学课题）同角三角函数的基本关系式授课时数2授课日期2012年3月29日周次7教学系审批教学班级2011服装高级班年月日教材名称及版本教材教学方法任务驱动法、谈话法、讲授法教学媒体（含教具）多媒体平台、三角尺、圆规教学目标知识目标知道一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值。化简三角函数式。教务处审批证明三角恒等式。年月日能力目标培养学生由特殊结论-----猜想一般规律-----进行严格证明的科学思维方式。通过求值、化简、证明培养学生逻辑推理能力。通过例题与练习提高学生动手能力和分析解决问题的能力。教学对象分析本人担任的技校一年级的数学课，技校学生对数学还是有一定的兴趣，在学习中，能够认真、积极配合老师，但学习比较被动，自主学习能力不强，有大部分同学对学习数学没有真正掌握正确的学习方法，并且比较依赖于老师。于是，我设计的教学过程要显浅而懂，同时要直观生动，并帮助学生充分利用六边形来记忆和灵活运用同角三角函数的基本关系式，其中有些内容学生通过自己的思维都能做得出来的，老师尽量少讲，交给学生自己去发现，从而获得知识，充分发挥学生的主体地位。教材分析本节课内容是是在学生学习任意角的三角函数的基础上，进一步了解同角而不同名的三角函数上提出来的，为下面有关三角函数内容打下基础，因此这一节内容起到一个承上启下的作用。学习这一节内容，不仅可以帮助我们根据一个角的某一个三角函数值，直接求出这个角的其它三角函数值，而不必求这个角；同时还可以用来化简三角函数式及证明其他一些三角恒等式等等。提高了学生利用知识解决实际问题的能力。因此这一节课无论在知识学习上还是培养学生的能力上都有着十分重要的作用。教学重点同角三角函数基本关系式推导及应用。教学难点关系式在解题中的灵活选取，及使用公式时由函数值正负号的选取而导致的角的范围的讨论。教学准备复习好前面学习的三角函数的定义，即记好六个比值。11教室布置图课后记在公式的推导中，教师是用创设问题的形式引导学生去发现关系式，多让学生动手去计算，体现了教师为引导,学生为主体,体验为红线,探索得材料,研究获本质,思维促发展的教学思想。在记忆关系式时，我不要求学生死记硬背，而是充分利用六边形来灵活记忆。在解题的过程，我要求学生利用六边形来分析，进而寻找解题的思路，这样就把抽象的问题具体化，并可以找出多种的解题思路，这样做使学生不感到困难，而且使枯燥的内容生动化、直观化，培养学生解题的信心。22教学过程教学目标————————重点难点练学导探引创设情境探究问题引导学生掌握反思提炼延作业布置教学环节教学内容与过程学生活动教师活动设计意图导入主题（15分钟）教学知识目标1（20分钟）一、创设情景。气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化。蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索。从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点。既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是这节课的课题。二、温故知新，引入课题。（1）已知角α终边上一点p（x、y），r=22yx，求角α的六个三角函数。（2）当角α分别在不同的象限时，sin、cos、tg、ctg的符号分别是怎样的？（I全正，II正弦，III全切，IV余弦）（3）问题：由于α的三角函数都是由x、y、r的两两比值表示的，则角α的六个三角函数之间有什么关系？学生：通过一个这样的事例，激发学生的好奇心，活跃思维，让学生对本节课的学习产生兴趣，为下面的内容埋下伏笔。学生根据提示问题进行回答，通过回答复习三角函数的六个比值。教师将此事例用多媒体播放出来并加以讲解。如何推出课题，怎样才能让学生产生一种需求，感到有一种必要。这里我用几个问题是复习旧知识，为本节课作好铺垫，第3和第4个问题是为了引入课题。从实例引入课题，创设问题情境。为本节课的学习做好充分的准备。44教学环节教学内容与过程学生活动教师活动设计意图课堂练习（10分钟）三、推导同角三角函数的关系式（一）倒数关系请同学们观察上述六个三角函数的定义，哪些互为倒数关系？（学生在草稿纸上演算，教师巡视）因此倒数关系是：sin1csc；cos1sec；tg1ctg（二）商数关系学生的结果估计是这样的：sinryxrxysectg,cosrxyryxcscctg,tgxyrxrycossin再提示学生思考除了以上三个之外，还可以将三条式子的分子与分母的位置调换，于是又多了三条式子：cscyrxyxrtgsec,secxryxyrctgcsc,ctgyxryrxsincos总结商数关系一共有六条，告诉学生常用的的第一和第四条：化切为弦倒数关系直接让学生回答商数关系先要让学生明白涉及到商，应该与除法有关，而作为分子、分母都是比值的除法，要想化简最后的结果，最好是要找分母相同的比值。在上面六个比值中，分母相同的分别有三组。然后要求学生在自己演算。对于三种关系的推导，我是这样处理的：倒数关系由学生自己推导，商数关系引导学生推导，平方关系由老师帮助推导。学生在演算的过程中，教师巡视，对于基础差的学生给予一些指导。并及时掌握学生的情况。让学生自己推导，真正让他们参与到知识的学习过程中，并且加深印象，达到“知其然，知其所以然。”55cosActgAtgAsinAcscAsecA1教学环节教学内容与过程学生活动教师活动设计意图教学知识目标2（20分钟）（三）平方关系这种关系学生不易找出来，教师提示：x2+y2=r2,而且还可以得到r2-y2=x2，r2-x2=y2。因此它们还存在平方关系，要求学生算出sin2α+cos2α=1,再将sin2α+cos2α=1作恒等变形，当cos2α≠0时，等式两边同除以cos2α，得，所以tg2α+1=sec2α,同理当sin2α≠0时，等式两边同除以sin2α得到ctg2α+1=csc2α。平方关系：sin2α+cos2α=1tg2α+1=sec2αctg2α+1=csc2α四、帮助学生更灵活地记忆上述三种关系式，（上弦中切下割左正右余）①在对角线上两个三角函数值乘积等于1，有倒数关系。②六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。③带有阴影的三个倒三角形中，上面两个三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。平方关系在教师的指导下学生进行尝试演算给出右图，让学生思考怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系？教师提示多用这个式子进行思考x2+y2=r2。教师画出正六边形的图形，并将六个三角函数放在六个点上。用六边形的规律来记公式，可以深刻地记住公式，更重要的对下面的解题起到很大帮助。66教学环节教学内容与过程学生活动教师活动设计意图讨论填写表格的时间占用知识目标2总时间的一半（约10分钟）说明：①使用同角关系式成立的前提条件是“同角”，它揭示了同角而不同名的三角函数的关系，公式中的角可以是具体的数值，也可以是变量，可以是单项式表示的角也可以是多项式表示的角。②角α取使关系式的两边都有意义的任意值时关系式才成立。例：当0cos时，cossintg就不成立，要想成立0cos(2k,zk)。五、同角三角函数关系式的应用例1：（1）已知135sin，2，试求cosα和tgα的值。（2）已知815tg，求α的其它三角函数值。cosActgAtgAsinAcscAsecA1学生能过看六个比值根据分母不为零，确定解的取值范围。通过例题的讲解，使学生明白到运用平方关系式时涉及到开方问题，就要考虑符号的正负，如果已知角的象限，可直接确定，并求得结果只有一组解，如果不知角的象限时，就要分开符号取正和取负来考虑，通常分两个象限来考虑，并求得两组解。教师讲解运用同角三角函数的公式的前提条件是有意义。同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数值，求出这个角的其它三角函数值。我设计了两条例题，一条是已知角的象限，另一条不知道角的象限。设计问题，培养学生发散思维能力。问题由学生解决，归纳由学生完成，教师作必要补充。培养学生自主获取知识的能力。77教学环节教学内容与过程学生活动教师活动设计意图教学知识目标3（20分钟）引导学生充分利用六边形中关系式的关系，寻找多种解题的思路，以下是几种解题的顺序：①（tgα→ctgα→secα→cosα→sinα→cscα）②（tgα→ctgα→cscα→sinα→cosα→secα）③（tgα→secα→sinα→cscα→cosα→ctgα）例2：化简cossin11tanaaa。小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来。例3：证明cos1sin1sincosaaaa。小结：（1）由繁到简；（2）化弦法；（3）盯住目标、逐步靠拢；（4）注意“1”的变形运用；化简和证明题学生在教师的引导下，小组进行共同讨论，通过团队的合作将题目解出来，然后再派代表到黑板把题目的解题过程写出来，最后师生共同评解，并找出解题的多种方法。证明对于学生来讲是一个难点，所以在证明三角恒等式时，我教会学生证明的方法：是从较复杂的一边化到简单的另一边，而两边都较复杂时，同时化到第三式。充分调动学生，展示其思维过程，引导学生自我评价，相互评价，培养学生独立解决问题的能力。88教学环节教学内容与过程学生活动教师活动设计意图教学小结（5分钟）课前准备阶段实践能力目标方法能力（60分钟）六、课堂练习：化简下列各式1、已知3cos5a，试求sina的值。2、化简下列各式。（1）costanaa（2）2sincos1sinaaa七、课堂小结1、知识结论：同角三角函数的基本关系式；2、解题过程：画出六边形→分析→确定解题过程→选择同角的三角函数的基本关系式→写出解题过程；学生自己独立做题，教师巡视，做完后叫几个学生到黑板把过程写出来，全班共同批改。引导学生将本节课的主要内容总结出来，一方面是三种关系的公式；另一方面是如何利用六边形解题。引导学生解决问题，规范板书示范，强调解题过程规范性；总结解题步骤。巡视参与学生讨论，点评学生解题过程。强调解题的规范性。学生边回答，教师边将黑板的内容引导学生再看一次。深化学生对概念的理解。培养学生观察类比能力。通过总结让学生明确本节课的学习重点以及它们之间的相互联系。99教学环节教学内容与过程学生活动教师活动设计意图实践能力目标社会能力（25分钟）八、板书设计同角三角函数的基本关系式1.倒数关系例1练习2.商数关系3.平方关系例2例3cosActgAtgAsinAcscAsecA1学生要将本节的内容适当地做好笔记，特别是六边形和公式特点。完善并板书定义，引导并参与学生的探究活动。将本节课的主要架构记录下来，课后自己做题及以后的复习都可以查阅，防止遗忘。