2015届高考数学二轮专题检测：12 函数的零点――关键抓住破题题眼

12函数的零点——关键抓住破题题眼1．f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为________．答案5解析∵2sinπx－x＋1＝0，∴2sinπx＝x－1，图象如图所示，由图象看出y＝2sinπx与y＝x－1有5个交点，∴f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.2．方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的个数是________．答案2解析(数形结合法)∵a0，∴a2＋11.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．3．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝log0.5x＋1，0≤x1，1－|x－3|，x≥1，则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0a1)的所有零点之和为________．答案1－2a解析当0≤x1时，f(x)≤0.由F(x)＝f(x)－a＝0，画出函数y＝f(x)与y＝a的图象如图．函数F(x)＝f(x)－a有5个零点．当－1x0时，0－x1，所以f(－x)＝log0.5(－x＋1)＝－log2(1－x)，即f(x)＝log2(1－x)，－1x0.由f(x)＝log2(1－x)＝a，解得x＝1－2a，因为函数f(x)为奇函数，所以函数F(x)＝f(x)－a(0a1)的所有零点之和为1－2a.4．已知f(x)＝ex－x－2，x≤0，lnx2－x＋1，x0，则函数的零点个数为________．答案2解析当x0时，由f(x)＝0，即ln(x2－x＋1)＝0，得x2－x＋1＝1，解得x＝0(舍去)或x＝1.当x≤0时，f(x)＝ex－x－2，f′(x)＝ex－1≤0，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递减．而f(0)＝e0－0－2＝－10，f(－2)＝e－2－(－2)－2＝e－20，故函数f(x)在(－2,0)上有且只有一个零点．综上，函数f(x)有两个零点．5．(2013·天津改编)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________．答案2解析当0x1时，f(x)＝2xlog0.5x－1，令f(x)＝0，则log0.5x＝12x，由y＝log0.5x，y＝12x的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f(x)在(0,1)上有一个零点．当x1时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，令f(x)＝0得log2x＝12x，由y＝log2x，y＝12x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，综上有两个零点．6．已知函数f(x)＝kx＋1，x≤0，lnx，x0，则下列关于函数y＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是________．①当k0时，有3个零点；当k0时，有2个零点；②当k0时，有4个零点；当k0时，有1个零点；③无论k为何值，均有2个零点；④无论k为何值，均有4个零点．答案②解析当k0时，f(f(x))＝－1，综合图(1)分析，则f(x)＝t1∈(－∞，－1k)或f(x)＝t2∈(0,1)．对于f(x)＝t1，存在两个零点x1，x2；对于f(x)＝t2，存在两个零点x3，x4.此时共计存在4个零点．当k0时，f(f(x))＝－1，结合图(2)分析，则f(x)＝t∈(0,1)，此时仅有1个零点x0.故②正确．7．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0，且a≠1)，当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.答案2解析由于2a3b4，故f(1)＝loga1＋1－b＝1－b0，而0loga21,2－b∈(－2，－1)，故f(2)＝loga2＋2－b0，又loga3∈(1,2)，3－b∈(－1,0)，故f(3)＝loga3＋3－b0，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n＝2.8．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．答案2解析方程变形为3－x2＝2－x＝(12)x，令y1＝3－x2，y2＝(12)x.如图所示，由图象可知有2个交点．9．(2014·连云港模拟)已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为________．答案12，＋∞解析若a＝0，则f(x)＝2x－3，f(x)＝0⇒x＝32∉[－1,1]，不合题意，故a≠0.下面就a≠0分两种情况讨论：(1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得12≤a≤52.(2)当f(－1)·f(1)0时，f(x)在[－1,1]上有零点的条件是f－12af1≤0，－1－12a1，f－1·f10，解得a52.综上，实数a的取值范围为12，＋∞.10．(2014·天津)已知函数f(x)＝|x2＋5x＋4|，x≤0，2|x－2|，x0.若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．答案1a2解析画出函数f(x)的图象如图所示．函数y＝f(x)－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a0)．当a＝2时，函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a2.当y＝a|x|(x≤0)与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，此时，由y＝－axy＝－x2－5x－4得x2＋(5－a)x＋4＝0.由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，则当1a2时，两个函数图象有4个交点．故实数a的取值范围是1a2.11．已知函数f(x)＝lnx＋x2.(1)若函数g(x)＝f(x)－ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(2)在(1)的条件下，若a1，h(x)＝e3x－3aex，x∈[0，ln2]，求h(x)的极小值；(3)设F(x)＝2f(x)－3x2－kx(k∈R)，若函数F(x)存在两个零点m，n(0mn)，且2x0＝m＋n.问：函数F(x)在点(x0，F(x0))处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．解(1)g(x)＝f(x)－ax＝lnx＋x2－ax，g′(x)＝1x＋2x－a.由题意，知g′(x)≥0在x∈(0，＋∞)内恒成立，即a≤(2x＋1x)min.又x0,2x＋1x≥22，当且仅当x＝22时等号成立．故(2x＋1x)min＝22，所以a≤22.(2)由(1)知，1a≤22.令ex＝t，则t∈[1,2]，则h(t)＝t3－3at.h′(t)＝3t2－3a＝3(t－a)(t＋a)．由h′(t)＝0，得t＝a或t＝－a(舍去)，∵a∈(1,22]，∴a∈[1,234]，①若1t≤a，则h′(t)0，h(t)单调递减；②若at≤2，则h′(t)0，h(t)单调递增．故当t＝a时，h(t)取得极小值，极小值为h(a)＝aa－3aa＝－2aa.(3)设F(x)在(x0，F(x0))的切线平行于x轴，其中F(x)＝2lnx－x2－kx.结合题意，有2lnm－m2－km＝0，①2lnn－n2－kn＝0，②m＋n＝2x0，③2x0－2x0－k＝0，④①－②得2lnmn－(m＋n)(m－n)＝k(m－n)．所以k＝2lnmnm－n－2x0.由④得k＝2x0－2x0.所以lnmn＝2m－nm＋n＝2mn－1mn＋1.⑤设u＝mn∈(0,1)，⑤式变为lnu－2u－1u＋1＝0(u∈(0,1))．设y＝lnu－2u－1u＋1(u∈(0,1))，y′＝1u－2u＋1－2u－1u＋12＝u＋12－4uuu＋12＝u－12uu＋120，所以函数y＝lnu－2u－1u＋1在(0,1)上单调递增，因此，yy|u＝1＝0，即lnu－2u－1u＋10.也就是，lnmn2mn－1mn＋1，此式与⑤矛盾．所以F(x)在(x0，F(x0))处的切线不能平行于x轴．12．(2014·四川)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e－2a1.(1)解由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥e2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当12ae2时，令g′(x)＝0得x＝ln(2a)∈(0,1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当12ae2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；当a≥e2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)证明设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理，g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2，所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．当a≥e2时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．所以12ae2.此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b0，g(1)＝e－2a－b0.由f(1)＝0，有a＋b＝e－12，有g(0)＝a－e＋20，g(1)＝1－a0.解得e－2a1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e－2a1.