2.4.2平面向量数量积的坐标表示_模_夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角复习2、数量积的定义：cos||||baba1、向量夹角的定义：AOBbOBaOA则,,]0[，共起点，范围与bacos||b叫做方向上的投影在ab规定0与任何向量的数量积为04、数量积的几何意义：ba等于a的长度||a方向上的投影在ab与cos||b的乘积。3、投影：5、数量积的重要性质设ba、是非零向量，be是与方向相同的单位向量，ea与是的夹角，则cos||)1(aeaae0)2(baba|;|||)3(bababa同向时，与当|;|||bababa反向时，与当特别地，2||aaaaaa||或||||cos)4(baba||||||)5(baba二、新课学习1、平面向量数量积的坐标表示如图，是x轴上的单位向量，是y轴上的单位向量，由于所以ijcosbabaxijyoB(x2,y2)abA(x1,y1)iijjijji...110一.平面两向量数量积的坐标表示1122,,,,axybxyab非零向量1212abxxyy11axiyj22,bxiyj1122()()abxiyjxiyj2212122112xxixyijxyijyyj1,ii1jj,0ijji故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即ijxoB(x2,y2)A(x1,y1)aby.2121yyxxba根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。；或aaaaaa2)1(221221221122222))),,(),2,),,()1(yyxxAByxByxAyxayxayxa（（则、（设）两点间的距离公式（；或则设向量的模2、向量的模和两点间的距离公式0baba（1）垂直0),,(),,21212211yyxxbayxbyxa则（设3、两向量垂直和平行的坐标表示0//),,(),,12212211yxyxbayxbyxa则（设（2）平行4、两向量夹角公式的坐标运算bababacos1800则），（的夹角为与设0.0.cos)180(0),,(),,222221212222212121212211yxyxyxyxyyxxbayxbyxa，其中则，夹角为与且（设平面向量数量积的坐标表示、模、夹角例1(3,4),(6,8),,,,.ababababab已知求5105075();()abcabc1.设a=(2,3)，b=(-1,-2)，c=(2,1)，求练习2(1)3(2)8()8(2,1)(16,8)bc(1)2(2)14()4(2,3)(8,12)ababcabc解：.(1,),32222axbabababab已知（-，1）(1)当x为何值时，＋与平行？(2)当x为何值时，＋与垂直？例22332或）（311）（例3已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y.ABC是直角三角形三角形)1,1()23,12(AB:证明)3,3()25,12(AC031)3(1ACABACAB变式在△ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.ABAC当B=90时，=0，ABBC==(1，k3)BCACAB∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=311当C=90时，=0，ACBC∴1+k(k3)=0∴k=2133综上所述213331123或或k解：当A=90时，ABAC=0,∴2×1+3×k=0∴k=23A.1B.2C.3D.4在直角坐标系xoy中，i,j分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，在Rt△ABC中，AB=2i+j，AC=3i+kj,则k的可能值个数是（）设a=(1,2)，b=(-2,-3)，又c=2a+b，d=a+mb，若c与d的夹角为450，求实数m的值。1.已知(1,2),(2,4),||5abc若5()2abc，则a与c的夹角为35m2.已知0013(cos,sin)(0360),(,)22ab则a+b与a-b的夹角为232ooo234:已知=(3,)(0),=(-2,)，3与的角是（）A60B90C120D由m的取值确定则夹ammmbabo3：若向量与向量=(1,-2)的角180，且||=35，=_____babb夹为则(-3,6)A1.向量则的最大值，最小值分别是(cos,sin),(3,1)ab|2|a-b4,0的夹角。与求向量的值。求若已知bababababa)2(|,3||3|)1().23,21(),3600)(sin,(cos.2003.已知(1)求证：与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值.(k为非零的常数)(cos,sin),(cos,sin),0abababkabakbβ-α4.已知一次函数y=-x+a的图象交抛物线y=x2的图象于A,B两点，O是坐标原点，若2+56aOAOB求实数a的取值范围。5．已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，t∈R.求|a＋tb|的最小值及相应的t值．1．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，求sinθ3．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，求3|a|2－4a·b2．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，求a在b方向上的投影。的值。，求且设的长度的最大值。求向量已知向量cos)(4)2()1().0,1(),sin,(cos),sin,(cos.1cbacbcba的最小值。，试求，且使得和存在实数已知ttkyxbtakybtaxtkba22,)3(),23,21(),1,3(.2恒成立。，不等式证明：对于任意的))(()(,,,.122222dcbabdacRdcba||||||,,nmnmnm利用不等式提示：构造向量变式2332244)())((,.1babababa为不等正数，求证：设byaxabbyaxbayx求证：设),0()())((.222222的最值。求已知byaxRbayxbayx,,,,,4,3.22222的最小值。求已知yxxy,4)1(1.4221,111.32222baabba求证：已知例2.如图，连接平行四边形ABCD的一个顶点至AD、DC边的中点E、F，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT,ABaADbACab解设，则：，ARAC与共线,()ARnab设12EBABAEab又EREB与共线,1()2ERmEBmab设111()(1)222ARAEERbmabmamb1()(1)2nabmamb1(1)2nmnm13nm解得13ARAC11,33TCACRTAC同理ARRTTC如图以分别为轴,轴建立平面直角坐标系,,ABACxy练习：已知直角三角形的两直角边长为4和6,试用向量方法求两直角边中线所成钝角的余弦值.ABC64解法一：xyO则，，，A00,B40,C06,EF易知两中点为，，E03,F20,4,3,2,6BECFcos,BECFBECFBECF423626BECF2222435,26210BECF261310505210ABC64EF已知直角三角形的两直角边长为4和6,试用向量方法求两直角边中线所成钝角的余弦值.练习：法二设则11,,,22ABaACbBEabCFbacos,BECFBECFBECF1122BECFabba22118182622ab5,210BECF261310505210练习1、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。CBAC0CBAC解：设则,AOaOCb,ACabCBabACCBabab2222abab220rr即，∠ACB=90°0ACCB例3.已知正方形ABCD中，如图点P为对角线AC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接DP、EF，求证：DP⊥EF.AFEPDBC证明：设,,ABaADb三点共线,,,APC则设APACab1DPAPADabbab,1,AEABaPFEBaEPADb1EFEPPFba11DPEFabba22110ab0,abab即.DPEFDPEF基向量法AFEPDBC证明二：如图以分别为轴,轴建立平面直角坐标系,,ABADxy不妨令正方形边长为1,则，，，，A00,B10,C11,D01设则，P,,E0,F1,,=,=,11,,DPEF=,11,DPEF=110即.DPEFDPEF建系坐标法xy