高等数学(工本)课后习题答案

第一章空间解析几何与向量代数习题1−11．研究空间直角坐标系各个卦限中点的坐标特征，指出下列点在哪个卦限：A（1,−2,3），B（2,3,−4），C（2,−3,−4），D（−2,−3,1），E（1,2,4）．空间直角坐标系中点M（x，y，z）的坐标值与其所在卦限的关系如下：xyz卦限xyz卦限xyz卦限xyz卦限+++第一卦限++−第五卦限+−+第四卦限+−−第八卦限−++第二卦限−+−第六卦限−−+第三卦限−−−第七卦限因此点A处于第四卦限，点B处于第五卦限，点C处于第八卦限，点D处于第三卦限，点E处于第一卦限．2．研究在各个坐标面和坐标轴上的点的坐标各有什么特征，指出下列各点在哪个坐标面或坐标轴上：A（3,4,0）,B（0,4,3），C（3,0,0），D（0,−1,0），E（0,0,7）．空间直角坐标系中点(,,)Pxyz（,,xyz至少有一个为0）的坐标特征如下：在x轴上，y、z必为0，在Oyz平面上，x必为0；在y轴上，x、z必为0，在Oxz平面上，y必为0；在z轴上，x、y必为0，在Oxy平面上，z必为0．因此点A（3,4,0）在Oxy平面上，点B（0,4,3）在Oyz平面上，点C（3,0,0）在x轴上，点D（0,−1,0）在y轴上，点E（0,0,7）在z轴上．3．点（a，b，c）关于各坐标面、各坐标轴、坐标原点的对称点的坐标是什么？如下表所示：坐标Oxy平面Oyz平面Oxz平面x轴y轴z轴原点(a，b，c)(a，b，−c)(−a，b，c)(a，−b，c)(a，−b，−c)(−a，b，−c)(−a，−b，c)(−a，−b，−c)4．对于空间中的点M，如果经过M向某条直线做垂线，则称垂足为点M在直线上的投影点；如果经过M向某个平面做垂线，则称垂足为点M在该平面上的投影点．求点（a，b，c）在各个坐标面及各个坐标轴上的投影点的坐标．如下表所示：坐标Oxy平面Oyz平面Oxz平面x轴y轴z轴(a，b，c)(a，b，0)(0，b，c)(a，0，c)(a，0，0)(0，b，0)(0，0，c)5．求顶点为A（2,5,0），B（11,3,8），C（5,1,11）的三角形各边的长度．222(211)(53)(08)149AB=−+−+−=；222(115)(31)(811)7BC=−+−+−=；222(25)(51)(011)146AC=−+−+−=．6．求点A（4,-3,5）到各个坐标轴的距离，即求点A与其在各个坐标轴上投影点的距离．如下表所示：坐标与x轴的距离与y轴的距离与z轴的距离A（4,−3,5）22(3)534−+=224541+=224(3)5+−=习题1−21．利用向量的运算化简下列向量的线性运算：（1）2(2)+−−abab；2(2)224ababb+−−=+−+=abab（2）13525−−+−+baabb；13555322522abbbaab−−+−+=−−+−=−−baabb（3）()()()()mnmn−+−+−abab．()()()()mnmn−+−+−abab()()()()2()mnamnbmnamnbmbna=−+−−+++=−2．设向量=−+uij2k，3=−+−vijk，计算23−uv．232(2)3(3)5117ijkijkijk−=−+−−+−=−+uv3．给定向量{3,5,1)=−a，{2,2,3}=b，{4,1,3}=−−c，求：（1）2a；（2）+−abc；（3）234−+abc；（4）mn+ab．（1）2{6,10,2}=−a；（2）{3,5,1}{2,2,3}{4,1,3){1,8,5}+−=−+−−−=abc；（3）{3,5,}{2,2,3}{32,52,3}mnmmmnnnmnmnmn+=−+=++−+ab．4．给定两点A（−3,−3,3）及B（3,4,−3），求与AB平行的单位向量．易得{6,7,6}AB=−,因此222{6,7,6}676{,,}11111167(6)ABABAB−=±==−++−或676{,,}111111−−．5．给定两点A（4,0,5）及B（7,1,3），求与AB同向的单位向量．易得{3,1,2}AB=−，因此222{3,1,2}3141414{,,}1414731(2)ABABAB−===++−．6．设向量的方向余弦分别满足：（1）cos0α=；（2）cos1β=；（3）cos0,cos0αβ==．问：这些向量和坐标轴的关系如何？（1）由cos0α=可知该向量垂直于x轴；（2）由cos1β=可知该向量与y轴同向；（3）由cos0α=及cos0β=可知该向量垂直于x轴与y轴，即该向量与z轴平行．7．求向量{1,2,1}=a的单位化向量0a，并求a与各个坐标轴的夹角．易得121{,,}222aaa==，故1cos2α=，2cos2β=，1cos2γ=．8．证明下列结论：（1）λ=a0的充分必要条件是0λ=或=a0；（2）如果a是单位向量且λ=βα，则λ=β．（1）由0aλ=可得0aaλλ==，故0λ=或0a=；（2）由aβλ=可得aaβλλλ===．习题1−31．已知向量{3,2,1}=−a，{1,1,2}=−b，求：（1）ab；（2）5a3b；（3）ai，aj，ak．（1）{3,2,1}{1,1,2}1ab=−−=−；（2）5315{3,2,1}{1,1,2}15ab=−−=−；（3）{3,2,1}{1,0,0}3ai=−=，{3,2,1}{0,1,0}2aj=−=，{3,2,1}{0,0,1}1ak=−=−．2．设向量{2,3,5}=−a，{3,1,2}=−b，求：（1）ab；（2）2b；（3）2()+ab；（4）()()+−abab；（5）(32)(2)+−abba．（1）{2,3,5}{3,1,2}7ab=−−=−；（2）22{3,1,2}14b=−=；（3）222()({2,3,5){3,1,2}){5,2,3}38ab+=−+−=−=；（4）()(){5,2,3}{1,4,7}24abab+−=−−−=；（5）(3)(2){9,8,13}{1,7,12}221abba+−=−−−=−．3．设向量≠a0且=abac，问：是否有=bc？为什么？设向量a与bc、的夹角分别为βγ、，由coscosababacacβγ===可得coscosbcβγ=，即向量bc、在向量a上的投影相等，因此不能断定bc=．4．已知向量{1,1,4}=−a，{2,2,1}=−b，求：（1）ab；（2）a，b；（2）a与b的夹角θ．（1）{1,1,4}{2,2,1}4ab=−−=−；（2）22211(4)32a=++−=，2222(2)13b=+−+=；（3）422cos9323ababθ−===−，故22arctan9θπ=−．5．证明向量{3,2,1}=−a与{2,3,0}=−b相互垂直．由{3,2,1}{2,3,0}0ab=−−=可得a与b相互垂直．6．已知三角形的顶点为(1,2,3),(1,1,1),(0,0,5)ABC−，证明此三角形是直角三角形，并求角B．由已知得{2,1,2}AB=−−，{1,2,2}AC=−,{1,1,4}BC=−−故222(11)(12)(13)3AB=++−+−=，同理得3AC=，32BC=，由于222ABACBC+=，故此三角形是直角三角形，又2cos2ABBCBABBC==，因此4Bπ=．7．计算下列向量所对应的向量积×ab：（1）{1,1,1}=a，{3,2,1}=−b；（2）{0,1,1}=−a，{1,1,0}=−b．（1）111325{3,2,5}321ijkabijk×==+−=−−；（2）011{1,1,1}110ijkabijk×=−=−−−=−−−−．8．已知向量{3,2,1}=−a，{1,1,2}=−b，求：（1）×ab；（2）27×ab；（3）72×ba．（1）321375{3,7,5}112ijkabijk×=−=−−=−−−；（2）271432114(375){42,98,70}112ijkabijk×=−=−−=−−−；（3）721411214(375){42,98,70}321ijkbaijk×=−=−++=−−．9．设向量≠a0且×=×abac．问：是否有=bc？为什么？设111{,,}axyz=，222{,,}bxyz=，333{,,}cxyz=其中111,,xyz不全为0，则111122121121221222{,,}ijkabxyzyzyzxzxzxyxyxyz×==−−−，111133131131331333{,,}ijkacxyzyzyzxzxzxyxyxyz×==−−−，又abac×=×，即122113312112311312211331yzyzyzyzxzxzxzxzxyxyxyxy−=−−=−−=−，整理得123123123123123123()()()()()()xyyyxxyzzzyyzxxxzz−=−−=−−=−，由此可得232323111xxyyzzxyz−−−==，由已知111,,xyz不全为0可知232323,,xxyyzz−−−不全为0也满足abac×=×，因此ab=不一定成立．10．已知向量{2,3,1}=−a，{1,1,3}=−b，{1,2,0}=−c，计算：（1）()()−abcacb；（2）()()+×+abbc；（3）()×abc．（1）()(){8,16,0}{8,8,24}{0,8,24}abcacb−=−−−=−−；（2）()(){3,4,4}{2,3,3}344{0,1,1}233ijkabbcjk+×+=−×−=−=−−=−−−；（3）()231{1,2,0}{8,5,1}{1,2,0}2113ijkabc×=−−=−−−=−．11．求同时垂直于向量{2,1,1}=a和{4,5,3}=b的单位向量．设同时垂直于题中两向量的向量为n，则211226{2,2,6}453ijknabijk=×==−−+=−−，故1111311{,,}111111nnn=±=−或1111311{,,}111111−−．12．已知向量{1,0,3}OA=，{0,1,3}OB=，求△ABO的面积．设nOAOB=×，则10333{3,3,1}013ijknijk==−−+=−−，故2221(3)(3)1192ABOSn∆==−+−+=．习题1−41．求到原点O和点（2,3,4）的距离之比为1:2的点的轨迹方程，它表示何种曲面？设满足条件的点为(,,)Pxyz，则有22222212(2)(3)(4)xyzxyz++=−+−+−，化简并整理得223343638290xxyyzz+++++−=，可化为22224116()(1)()339xyz+++++=，此轨迹方程表示原点在24(,1,)33−−−，半径为2293的球面．2．求与点（3,2,−1）和点（4,−3,0）等距离的点的轨迹方程．设满足条件的点为(,,)Pxyz，则有222222(3)(2)(1)(4)(3)xyzxyz−+−++=−+++，化简并整理得2102110xyz−+−=．3．写出球心在点（3,−2,5），半径为4的球面方程．222(3)(2)(5)16xyz−+++−=．4．写出