《圆》复习课件

第二十四章·圆1．与圆有关的概念：正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，并能正确分析它们的区别与联系。2．与圆有关的角：掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径。3．圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理：定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的，需注意“在同圆或等圆中”中这个关系。4．与圆有关的位置关系：了解点和圆、直线和圆共有几种位置关系，并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键。5．切线长定理：切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据。有关圆的基本性质与定理⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。圆与直线相切圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：面积，L：周长）④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。（4）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。（5）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。（6）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。（7）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。（8）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。〖有关圆的计算公式〗1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr^2;3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=πrl6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长)圆知识点总结平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。圆心：圆中心固定的一点叫做圆心。用字母o或⊙表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。圆知识点总结圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数，用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr2，用字母S表示。一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。【圆和其他图形的位置关系】圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。【圆和其他图形的位置关系】直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。练习题如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线l过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线l的解析式。2121CD232123DE212123bkxy3333xy3333解：如图所示，连接CD，∵直线l为⊙C的切线，∴CD⊥AD。∵C点坐标为（1，0），∴OC=1，即⊙C的半径为1，∴CD=OC=1。又∵点A的坐标为（—1，0），∴AC=2，∴∠CAD=30°。作DE⊥AC于E点，则∠CDE=∠CAD=30°，∴CE==，∴OE=OC-CE=，∴点D的坐标为（）。设直线l的函数解析式为，则k+b解得k=，b=∴直线l的函数解析式为.0=—k+b，已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。（1）如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：①；②；③。（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线。图1图2解：（1）①BA⊥EF；②∠CAE=∠B；③∠BAF=90°。（2）连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，则AD为⊙O的直径，∴∠D+∠DAC=90°。∵∠D与∠B同对弧AC，∴∠D=∠B，又∵∠CAE=∠B，∴∠D=∠CAE，∴∠DAC+∠EAC=90°，∴EF是⊙O的切线。如图24—B—18，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。图3（1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论。图3COD21COD21解析：（1）证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴∠COB=∠DOB=又∵∠CPD=，∴∠CPD=∠COB。（2）∠CP′D与∠COB的数量关系是：∠CP′D+∠COB=180°。证明：∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°。如图，⊙0的直径AB=8，P是上半圆(A、B除外)上任一点，∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC、BC的中点M、N，则EF的长是()．A．4B.2C.6D.2A如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA＝4厘米，PB＝3厘米，PC＝6厘米，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE＝2厘米，则PE的长为（）5（A）4厘米（B）3厘米452（C）厘米（D）厘米A自主训练1、如图（13），阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm，10cm，∠AOB=120°，求这个广告标志面的周长。2、如图（15），已知⊙P的圆心在直线y=2x-1上运动（1）若⊙P半径为2，当⊙P和x轴相切时，求点P的坐标；（2）若⊙P半径为2，当⊙P和y轴相切时，求点P的坐标；（3）若要让⊙P与x轴、y轴都相切时，则⊙P的半径是多少？