辛普森求积公式

摘要在工程实验及研究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型与我们的生活生产密切相关.本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的基本思想、模型的建立、以及具体应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性与非线性模型，在模型建立的基础上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题.关键词曲线拟合；线性与非线性模型；最小二乘发目录引言...................................................................1第一章曲线拟合........................................................2§1.1基本思想及基本概念............................................2§1.1.1方法思想..................................................2§1.1.2几个基本概念...............................................2§1.2辛普森算法基本定义及其应用.....................................4§1.2.1辛普森求积公式的定义.......................................4§1.2.2辛普森求积公式的几何意义...................................5§1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项...........................5§1.2.4辛普森公式的应用...........................................6第二章辛普森求积公式的拓展及其应用....................................7§2.1复化辛普森求积公式............................................7§2.1.1问题的提出.................................................7§2.1.2复化辛普森公式及其分析.....................................7§2.1.3复化辛普森公式计算流程图...................................8§2.1.4复化辛普森公式的应用.......................................9§2.2变步长辛普森求积公式.........................................10§2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程............................10§2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程............................12§2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图..........................13§2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码..............................14§2.2.5变步长辛普森求积公式的应用................................14§2.2.6小结......................................................14§2.2.7数值求积公式在实际工程中的应用............................14参考文献..............................................................16附录A.................................................................17附录B.................................................................18附录C.................................................................211引言辛普森是英国数学家.1710年8月20日生于波士沃希；1761年5月14日卒于波士沃希.在定积分近似计算中，以他的姓来命名的“辛普森公式”，虽早在他之前牛顿的学生柯特斯（Cotes）和斯特林就已经得出了（包括一些更高阶的近似公式），但真正广泛地为人所知并加以应用，则是1743年辛普森重新发现之后的事了.辛普森的工作使牛顿的微积分学说得到了进一步完善.在我们的日常生活中计算积分与我们的生活生产密切相关.所以掌握数值积分方法是学生储备知识能量的武器.数值积分的一个基本的计算策略，用易于积分的简单函数来逼近曲线)(xfy.简单曲线下面的面积近似等于)(xf下面的面积.如果涉及初等函数的积分找不到其他由初等函数构成的解析表达式，或者只在一些离散的x点上知道函数的值，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的.那么就必须对定积分进行数值逼近.数值积分实现是将整个闭区间],[ba划分为N个小段，在每个小段上对)(xf进行低阶分段多项式逼近.对每个小段上的逼近多项式积分时，就得到基本公式.基本公式只涉及足够多的))(,(xfx对来定义分段多项式的某一段，将此公式应用到N个小段并把结果相加得到复合公式，或称为扩展公式.在一个小段中节点的位置和数目决定了基本公式的很多重要特性.当节点均匀分布时，所有的积分公式称为牛顿—柯特斯公式.例如，梯形、辛普森、柯特斯求积公式等.经典辛普森求积公式来源于Lagrange插值多项式的应用，它的代数精度高达3阶，其形变后的代数精度高达4阶，且二者都具有良好的稳定性与收敛性，从而提高了计算效率及准确度，是定积分近似计算常使用的方法，一直是理工科大学生必修的内容.下面将给出具体辛普森求积公式的具体思想以及其算法程序设计并给出将其拓展后在实际工程问题中的应用.2第一章辛普森求积公式的理论实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.依据人们所熟知的微积分基本定理，对积分dxxfIba)(只要找到被积函数)(xf的原函数)(XF,便有下列牛顿-莱布尼茨公式：baaFbFdxxf)()()(，但实际计算dxxfba)(往往遇到一些困难，如:1))(xf的原函数不能用初等函数表示，故不能用牛顿-莱布尼茨公式计算.2)虽然找到了)(xf的原函数,但因表达式过于复杂而不便应用牛顿-莱布尼茨公式.3))(xf在许多实际问题中是以列表函数的形式给出,即仅仅知道其在一些节点处的函数值，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题，数值积分是解决上述困难的一种有效方法.§1.1基本思想及基本概念§1.1.1方法思想由定积分中值定理：baabfdxxfIba),)(()(可知:积分可以通过被积函数在处的值得到.由于积分中值定理仅仅告诉我们在一定条件下是存在的,但并没有给出确定的方法.一个很自然的想法就是利用被积函数)(xf在节点bxxxxan210处函数值的加权平均来替代(近似))(f,按此思想有)()(0iniibaxfAdxxf（1-1）这就是数值求积的思想（有效地解决了本章开始提出的问题），权因子iA和节点ixni,,2,1,0的不同确定方法就对应不同的数值求积公式.§1.1.2几个基本概念定义1.1称形如(1-1)式的求积公式为机械求积公式,其中iA仅节点的选择与)(xf无关，bxxxxan210称为求积节点，iA（ni,,2,1,0）称为求积3系数.定义1.2如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立,而对于1m次多项式就不准确成立,则称该求积公式具有m次代数精度（或代数精确度）.注1.1a)m越大近似程度越高，标志着使函数准确成立的“个数”越多，但代数精度不是唯一衡量标准.b)若机械求积公式的代数精度0m，则有abAnii0.c)若机械求积公式的代数精度为m，即当mxxxf,,1)(时，由（1.1）式可得，对任意次数不超过m的k次多项式mkxPk),(有)()(0ikniibakxPAdxxP.d)代精度的高低,从侧面反映求积公式的精度高低.定义1.3称求积公式nkkknxfAI0)(为插值型求积公式，式中求积系数kA通过插值基函数.,1,0)())(()()())(()()(110110nkxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkkkkkknkkk积分求得，即.,,1,0,)(nkdxxlAbakk（1-2）定理1.1插值型求积公式的代数精度至少为n次.定义1.4若节点将被积区间等分成n等分,即.,2,1,0,niinabaxi则相应的插值求积公式称为Newton-Cotes(牛顿-柯特斯)求积公式.即等距节点情形下的插值求积公式称为牛顿-柯特斯公式,相应的求积系数称为Cotes系数.常见的几个简单求积公式(Newton-Cotes公式)，如表1-1所示：表1-1几种简单N-C求积公式总结表n名称形式1n梯形求积公式)]()([2)(bfafabTdxxfba2n辛普森求积公式)]()2(4)([6)(bfbafafabSdxxfba44n柯特斯求积公式)](7)(32)(12)(32)(7[90)(321bfxfxfxfafabCdxxfba其中.1,,1,,nknabhkhaxk注1.2a）8n时，N-C公式出现数值不稳定.b）n为偶数时，N-C公式的代数精度至少为1n次，n为奇数时，N-C公式的代数精度至少为n次.定义1.5截断误差:由（1-3）当1n时可得梯形求积公式的截断误差TR],[)(,],[,)(12)())((2)())((!2)(23baCxfbaabfdxbxaxfdxbxaxfTIRbabaT类似的，可得当2n，4n时的截断误差注1.3从截断误差公式可知，当区间长度ab较大时，求积公式误差较大.§1.2辛普森算法基本定义及其应用§1.2.1辛普森求积公式的定义设计积分区间],[ba划分为n等份，步长nab，选取等距节点khaxk构造出的插值型求积公式)()()(knknxfcabI为牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）公式，式中)(nkc称为柯特斯系数.根据插值型求积公式系数（1-2），引进变换thax，则有nkjjknnnkjjnkdtjtnknnkdtjkjtabhc0000)()()!(!)1(当2n时，由上式有61)2)(1(4120)2(0dtttcdxxnfxfAdxxffRfIfIbanniniibann)()!1()()()(][][][1)1(0564)1(2120)2(1dtttc61)1(4120)2(2dtttc则相应的求积公式是辛普森求积公式：)]()2()([6)(bfbafafabdxxfsba（1-4）§1.2.2辛普森求积公式的几何意义辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C三点的抛物线)(xLy代替)(xfy所得曲边梯形面积，如图1.1所示.§1.2.3辛普森