高中数学数列知识点总结

迈恩教育数列一、数列的概念1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数称为该数列的项，记作an。排在第一位的项叫第一项（或首项），排在第二位的项叫第二项......，排在第n位的项叫第n项。数列的一般形式：a1，a2，a3，.....，an，....简记为na。注意：⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”。因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列。⑵在数列中同一个数可以重复出现。⑶项an与项数n是两个根本不同的概念。⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列。例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a，-3，-1,1，b，5,7,9（2）2010年各省参加高考的考生人数。2.通项公式：如果数列na的第n项与序号n之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(nfan.例：（1）1,2,3,4,5，...（2）1，21，31，41，51,...注意：（1）｛an｝表示数列，an表示数列中的第n项，)(nfan表示数列的通项公式。（2）同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如：（3）不是每一个数列都有通项公式。例如：1,1.4,1.41,1.414,.....3.递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项），且任何一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或迈恩教育),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列na的递推公式.如数列na中，12,11nnaaa，其中12nnaa是数列na的递推公式.例：a1=1，an=2an-1+1(n1)a2=2a1+1=3a3=2a2+1=74.数列的前n项和Sn与通项an的公式①nnaaaS21；②.)2()1(11nSSnSannn例：已知数列｛an}的前n项和Sn=2n2+3，求数列｛an}的通项公式。例：已知数列｛an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为155.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法。6.数列的分类：（1）按数列项数是有限还是无限分：有穷数列，无穷数列；（2）按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列，递减数列），摆动数列，常数数列。例：（1）1,2,3,4,5,6，.....(2)10,9,8,7,6，.....(3)1,0,1,0,1,0，.....(4)a，a，a，a，a，......练习：1、已知an=3n2-28n，则在数列{}na的最小项为第5项2、数列{}na中，2nann，且{}na是递增数列，实数的取值范围（-3，+∞）3、数列{}na的前n项和Sn=n2-4n+1，则通项公式为.二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差（用字母d表示）。即)2,*(1nNndaann且.(或)*(1Nndaann)。迈恩教育例：等差数列an=2n-1，an-an-1=22、等差数列的通项公式：1(1)naand或()nmaanmd。公式变形为:banan.其中a=d,b=a1－d.变式：a1=an－(n－1)dd=11naand=mnaamn特征：an=dn+(a1-d)，即an=kn+m(k，m为常数)，是数列成等差数列的充要条件。例：等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na210n.例：等差数列{}na中，a3+a8=22，a6=7，则a5=15.例：{}na是首项1a=1，公差d=3的等差数列，如果an=2005，则n=669.3、等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA，a，A，b成等差数列是2A=a+b的充要条件，即212nnnaaa，mnmnnaaa2例：{}na是公差为正数的等差数列，若15321aaa，80321aaa，则131211aaa105例：等差数列{}na中，12012864aaaa，则11931aa的值为16例：等差数列{}na中，1291,0SSa，则前10或11项的和最大。4、等差数列的前n项和nS：1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad。公式变形为：ndandSn)2(212即BnAnSn2，其中2dA，B=21da.例:如果等差数列{}na中，12543aaa，那么7321...aaaa28例：数列{}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，则1a＝-3，n＝10.迈恩教育例：设nS是等差数列{}na的前n项和，已知11,362aa，则7S49.注意：（1）等差数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（公差为2d）5、等差数列的性质：（1）在等差数列{}na中，从第二项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列{}na中，)(,)(nmmnaaddmnaamnmn；（4）在等差数列{}na中，当mnpq时，则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.例：在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=88例：已知等差数列{an}的前n项和为nS，若1185212,21aaaaS则7（5）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.（6）单调性：设d为等差数列an的公差，则d0an是递增数列；d0an是递减数列；d=0an是常数数列。（7）项数成等差，则相应的项也成等差数列，即),,...(,,*2Nmkaaamkmkk成等差，232,,nnnnnSSSSS（公差为dn2）也成等差数列，而{}naa成等比数列；若{}na是等比数列，且0na，则{lg}na是等差数列.迈恩教育例：等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为225例：已知等差吃的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为-110（8）在等差数列{}na中，当项数为偶数2n时，)(1aannnns；ndss奇偶；aannss1奇偶.当项数为奇数21n时，annns)12(12；ass1奇偶（中偶奇aaSSn-）；nnss1奇偶。例：在等差数列中，S11＝22，则6a＝2。例：项数为奇数的等差数列{}na中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数5；31（9）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数。注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab.6、等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数daannan为等差数列。②中项法：aaannn212an为等差数列。③通项公式法：banan（a,b为常数）an为等差数列。④前n项和公式法：BnnAsn2（A,B为常数）an为等差数列。例：设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan21*nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。例：已知数列{}na中，31a，前n项和1)1)(1(21nnanS，求证：数列{}na是等差数列；数列{}na的通项公式。7、已知an成等差数列，求sn的最值问题：迈恩教育（1）若01a,d0且满足0,01aann,则sn最大；（2）若01a,d0且满足0,01aann,则sn最小。“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。nS最值得求法：：由不等式组000011nnnnaaaa或确定出na正、负分界项；：因等差数列前n项是关于n的二次函数bnanSn2，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？例：设{}na（n∈N*）是等差数列，nS是其前n项的和，且87665,SSSSS，则下列结论错误的是（c）A.0dB.07aC.59SSD.6S与7S均为nS的最大值例：等差数列{}na中，125a，917SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。前13项和最大，最大值为169。例：设等差数列{}na的前n项和为nS，已知0,0,1213123SSa，①求出公差d的范围；②指出12321,...,,,SSSS中哪一个值最大，并说明理由。迈恩教育三、等比数列1、等比数列的定义：如果数列an从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，记为q，（0q）。即)2,(*1nnqNaann（或)(*1Naanqnn）2、递推关系与通项公式：递推关系：qaann1通项公式：11nnaaq或nmnmaaq例：在等比数列na，852,54,2aaa则-1458例：在等比数列na，1937,2,12aqa则1923、等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=ab。注意：acb2是成等比数列的必要不充分条件。不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数,()abab的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A＞B。例：3232和的等比中项为±14、等比数列的前n项和：当1q时，1nSna；当1q时，1(1)1nnaqSq11naaqq。例：设等比数列na的前n项和为Sn，已知nnSaaaa和求,306,6312。例：等比数列中，q＝2，S99=77，求9963aaa（答：44）例：设等比数列na的前n项和为Sn，若,2963SSS求数列的公比q。注意：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先迈恩教育要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。提醒：（1）等比数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5个元素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,aaaaqaqqq…（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aqaqqaqa，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。例：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8