理论力学摩擦

2020年3月23日Monday,March23,2020前面几章我们把物体的接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦，有时摩擦还起着决定性的作用。平衡必须要考虑摩擦力例：P2FAFSAP1FBFSB摩擦研究摩擦的任务：摩擦的分类:2.按照接触面的润滑情况分：干摩擦和湿摩擦。1.按照接触物体之间的运动情况分：掌握摩擦的规律，尽量利用摩擦有利的一面，同时尽量减少或避免它不利的一面。摩擦对人类的日常生活和生产实践，既有有利的一面，也有不利的一面。摩擦滑动摩擦和滚动摩阻。4摩擦4.1滑动摩擦4.2考虑摩擦时物体的平衡问题4.3滚动摩阻4摩擦4.1滑动摩擦4.1滑动摩擦一、静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力,0,01sFFFxFs—静滑动摩擦力，简称静摩擦力。当主动力达到一定数值时，物块处于平衡的临界状态。这时静摩擦力达到最大值，称为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以Fmax表示。PFNFNPF1Fs物块仅有相对滑动趋势，物块仍静止不动。当F1不很大时，静摩擦力的大小随主动力的增大而增大，但不是无限增大。1sFF4.1滑动摩擦综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零和最大值之间，即maxs0FF实验表明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体间的正压力(即法向约束力)成正比，即NsmaxFfFfs是比例常数，称为静摩擦因数。上式称为静摩擦定律，又称为库仑摩擦定律。是工程中常用的近似理论。4.1滑动摩擦静摩擦因数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关，而与接触面面积的大小无关。静摩擦因数的数值可在工程手册中查找。书中表4-1中列出了一部分常用材料的静摩擦因数。但影响静摩擦因数的因素很复杂，如果需要比较准确的静摩擦因数的数值时，必须在具体条件下进行实验测定。4.1滑动摩擦二、动滑动摩擦力物体开始滑动实验表明：动摩擦力的大小与接触物体间的正压力成正比，即NFfF一般情况下，动摩擦因数小于静摩擦因数，即ffs。动摩擦因数与物体间的材料和表面情况有关。式中f是动摩擦因数。F—动滑动摩擦力，简称动摩擦力。FNPF1F4.1滑动摩擦上式称为动摩擦定律。(此时，FFmax)另外，动摩擦因数还与接触物体间相对滑动速度大小有关。对于不同材料的物体，动摩擦因数随相对滑动的速度变化规律也不同。但当相对滑动速度不大时，动摩擦因数可近似地认为是个常数。多数情况下，动摩擦因数随相对滑动速度的增加而稍减少。在机器中，往往用降低接触表面的粗糙度或加入润滑剂等方法，使动摩擦因数降低，以减小摩擦和磨损。三、摩擦角sNRFFFA全约束力与法线间的夹角的最大值φf称为摩擦角。sNNsNmaxftanfFFfFFAφAAφfφfφfFRA—全约束力FsFNFNFmaxFRAFRA4.1滑动摩擦四、自锁现象物块平衡时，maxs0FFf0所以，全约束力必在摩擦角之内。由此可知：ffffFRAFR1.如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角φf之内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。4.1滑动摩擦ffffFRAFR2.如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角φf之外,则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。4.1滑动摩擦利用摩擦角的概念，可以用一个简单的试验方法，测定静摩擦因数。ftantanfsfFRAP4.1滑动摩擦斜面的自锁条件：f斜面的倾角小于或等于摩擦角，即f4.1滑动摩擦斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。ffPFRA因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面。螺纹升角就是斜面的倾角。螺母相当于斜面上的滑块A，加于螺母的轴向载荷P，相当物块A的重力。要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角小于或等于摩擦角。即f4.1滑动摩擦为保证螺旋千斤顶自锁，一般取螺纹升角。'304~4若螺旋千斤顶的螺杆与螺母之间的摩擦因数为，则1.0sf1.0tansff'f435得F4.1滑动摩擦4.2考虑摩擦时物体的平衡问题4摩擦4.2考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致相同，但有如下的几个特点：1．分析物体受力时，必须考虑接触面切向的摩擦力Fs。2．列补充方程，即NssFfF3．由于物体平衡时摩擦力有一定的范围，即Nss0FfF所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。θF1max解：取物块为研究对象。,0xF,0yFNsmaxFfFsincoscossinssmax1ffPF解得0sincosmaxmax1FPF0cossinmax1NPFFxy例：物体重为P，放在倾角为θ的斜面上，它与斜面间静摩擦因数为fs。当物体处于平衡时，试求水平力F1的大小。先求力F1的最大值。FmaxPFN4.2考虑摩擦时物体的平衡问题,0xF,0yF'Ns'maxFfF0sincos'maxmin1FPF0cossinmin1'NPFFsincoscossinssmin1ffPFsincoscossinsincoscossinss1ssffPFffPxy再求力F1的最小值。综合上述两个结果可知：F1必须满足如下条件θF1minF'maxF'NP4.2考虑摩擦时物体的平衡问题φfθ本题也可以利用摩擦角的概念，使用全约束力进行求解。)tan(fmax1PF)tan(fmin1PFφfθθ+φfθ-φfθF1maxθF1minPFRPFRF1maxF'RPF1minF'RP求力F1的最小值。求力F1的最大值。4.2考虑摩擦时物体的平衡问题)tan()tan(f1fPFPsincoscossinsincoscossinss1ssffPFffP按三角公式，展开得ff1fftantan1tantantantan1tantanPFP由摩擦角定义，sftanf得由以上计算可知，使物体平衡的力F1应满足4.2考虑摩擦时物体的平衡问题ACB例：两根相同的均质杆AC和BC，在端点C用光滑铰链连接，A，B端放在不光滑的水平面上。当ABC成等边三角形时，系统在铅直面内处于临界平衡状态。求杆端与水平间的静摩擦因数。4.2考虑摩擦时物体的平衡问题ACBAC解：先取整体为研究对象,0BM04341NlPlPlFAPFAN设杆长为l。再取杆AC为研究对象,0CMPFA321s0234121sNAAlFlPlF321NssAAFFfPPFNAFsAFNBFsBFCyFCxPFNAFsA4.2考虑摩擦时物体的平衡问题PFOCBAO1Rarcb4.2考虑摩擦时物体的平衡问题例：制动器的构造和主要尺寸如图。制动块与鼓轮表面之间的静摩擦因数为fs，试求制止鼓轮转动所必需的力F。解：先取鼓轮为研究对象。,0)(1FOM0sTRFrFPRrFRrFTs再取杠杆OAB为研究对象。,0)(FMO0'N'sbFcFFa'Ns'sFfFRafcfbrPFss)(得所以，所需的力：OBAO1CFO1yFsFNFTFO1xFOxF'NF'sFFOy4.2考虑摩擦时物体的平衡问题考虑临界状态：RafcfbrPFss)(例：均质木箱重P=5kN，与地面间的静摩擦因数fs=0.4。图中h=2a=2m，θ=30º。求：（1）当D处的拉力F=1kN时，木箱是否平衡？（2）能保持木箱平衡的最大拉力。θahADF4.2考虑摩擦时物体的平衡问题θahADFd解：（1）取木箱为研究对象。,0xF,0yF,0)(FMAkN,866.0sF假设木箱平衡kN,5.4NFm171.0d0cossFF0sinNFPF02cosNdFaPhF此时木箱与地面间最大摩擦力：kN8.1NsmaxFfF可见,FsFmax，木箱不滑动；又d0，木箱不会翻倒。因此，假设成立，即木箱是平衡的。xyFsFNP4.2考虑摩擦时物体的平衡问题（2）求保持木箱平衡的最大拉力。木箱将滑动的条件为NsmaxsFfFFkN876.1sincosssfPfF滑木箱将绕A点翻倒的条件为d=0，解得kN443.1cos2hPaF翻由于F翻F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力为kN443.1翻FFθahADFdxyFsFNP4.2考虑摩擦时物体的平衡问题4-24-54-94-11习题作业4.3滚动摩阻4摩擦OPFN4.3滚动摩阻O滚动摩阻：一个物体在另一个物体表面作相对滚动或具有滚动趋势时，接触面间产生对滚动的阻碍称为滚动摩阻。Mf这个矩为Mf的力偶——称为滚动摩阻力偶(简称滚阻力偶)。当F不大时，滚子仍然保持静止滚子静止PFNFsFOAFPOAFPOPF一、滚动摩阻力偶的产生AMfMfFRFsFN滚子和平面实际上并不是刚体，它们在力的作用下都会发生变形，有一个接触面。在接触面上，物体受分布力的作用，这些力向点A简化，得一个力FR和一个力偶Mf，这个力分解为摩擦力Fs和法向约束力FN。4.3滚动摩阻二、滚动摩阻定律滚动摩阻力偶矩Mf的大小介于零与最大值之间，即maxf0MMNmaxδFM—比例常数，称为滚动摩阻系数，简称滚阻系数。δ滚阻系数有长度的量纲，单位一般用mm。滚阻系数由实验测定，它与滚子和支承面的材料的硬度和湿度等有关，与滚子的半径无关。实验表明：最大滚动摩阻力偶矩Mmax与滚子半径无关，而与法向约束力FN的大小成正比，即FsAFNOFPMf4.3滚动摩阻三、滚动摩阻系数的物理意义d'NmaxFMd与比较，得NmaxδFMdδ滚子在临界平衡状态时因而滚动摩阻系数可看成在即将滚动时,法向约束力离开中心线的最远距离，也就是最大滚阻力偶()的臂。故它具有长度的量纲。δPF,'N'NF'NNFFOAFPMfFsFNOAFPFsF'N4.3滚动摩阻OPFBhAMf解：取圆轮为研究对象,0xF,0yF,0AM0sFFsFF0NPFPFN0fFhMFhMf不滑动条件：不滚动条件：PfFfFFsNsmaxsPFMMNmaxf所以维持圆轮平衡，必须PfFsPhF及δ例：圆轮半径为r，重为P，轮上点B作用一水平力F。已知fs，，问F值多大才能维持圆轮的平衡。FsFN4.3滚动摩阻PAαM解：取车轮为研究对象rδtan,0AM0sinMrP,0yF0cosNPFsinrPMcosNPFNmaxδFMM平衡条件：即cosδsinPrP所以车轮的平衡条件为：例：半径为r，重为P的车轮，放在倾角为α的斜面上，轮与斜面间滚阻系数为δ，求车轮的平衡条件。FsFN4.3滚动摩阻例：半径为R的滑轮B上作用有力偶，轮上绕有细绳拉住半径为R、重量为P的圆柱，斜面倾角为θ，圆柱与斜面间的滚动摩阻系数为δ。求保持圆柱平衡时，力偶矩MB的最大与最小值。θBCAMBP4.3滚动摩阻BθMBminCAMmax解：1.先求力偶矩MB的最小值取滑轮B为研究对象,0BM取圆柱为研究对象)cosδsin(1TminRPRFMB0min'1TBMRF,0AM0sinmax1TMRFRP,0yF0cosNPFNmaxδFM补充方程)cosδ(sin1TRPF解得FByPF'T1P1FBxFNFsFT14.3滚动摩阻2.再求力偶矩MB的最大值取滑轮B为研究对象,0BM取圆柱为研究对象)cosδsin(2TmaxRPRFMB0max'2TBMRF,0AM0sinmax2TMRFRP,0yF0cosN