理论力学第四章课件

第四章摩擦第四章摩擦§4–1滑动摩擦§4–2摩擦角和自锁现象§4–3考虑摩擦时的平衡问题§4–4滚动摩擦2009-11-93前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。[例]平衡必计摩擦α一、为什么研究摩擦？二、怎样研究摩擦，掌握规律。利用其利，克服其害。三、按接触面的运动情况对摩擦分类2009-11-941、定义：相接触物体，产生相对滑动（趋势）时，其接触面产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。（就是接触面对物体作用的切向约束反力）2、状态：①静止：②临界：（将滑未滑）③滑动：PFF=)(不固定值↑−↑FFPNmaxFfFs⋅=NFfF⋅=§4-1滑动摩擦§4-1滑动摩擦一、静滑动摩擦力所以增大摩擦力的途径为：①、加大正压力N,②、加大摩擦系数f（fs—静滑动摩擦系数）（f—动摩擦系数）sF2009-11-952009-11-963、特征：静摩擦力特征：max0FF≤≤0=∑ixFNfF⋅=max大小：方向：定律：（平衡范围）满足（f只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）与物体相对滑动趋势方向相反二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）动摩擦力特征：NFfF⋅=大小：方向：定律：（无平衡范围）（f只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）与物体运动方向相反NFfF⋅=2009-11-97[练习]已知：Q=10N，f'动=0.1f静=0.2求：P=1N;2N,3N时摩擦力F？解：N2,0,N2====∑PFFPx由时所以物体运动：此时N11.010''N=×=⋅=fFF动（没动，F等于外力）（临界平衡）（物体已运动）N2102.0Nmax=×=⋅=FfF静QN1,0,N1====∴∑PFFPx由时N2N3,N3max===FPPQ时NF2009-11-98§4-2摩擦角和自锁现象§4-2摩擦角和自锁现象一、摩擦角全反力：法向反力FN与静摩擦力F合成为一全约束力FR。FQ：主动力FP与FW的合力显然：FR＝－FQ2009-11-99定义：当摩擦力达到最大值Fmax时其全反力与法线的夹角ϕ达到最大值ϕm,称之为两接触物体的摩擦角。翻页请看动画fFFfFFm=⋅==NNNmaxtanϕ计算：NFRFQFWF摩擦锥：如果全反力作用点在不同的方向作出在极限摩擦情况下的全反力的作用线，则这些直线将形成一个顶角为2ϕm的圆锥。2009-11-9102009-11-911二、自锁现象定义：当物体所受主动力合力FQ作用线位于摩擦锥以内时，0≤α≤ϕm，无论主动力FQ的值增至多大，总有相应大小的反力FR与之平衡，使此物体总能处于平衡状态。这种现象称为自锁。当αϕm时，永远平衡（即自锁）mϕα自锁条件：NFRFQFWF如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥外，则不论这个力多小，物体都不能保持平衡。FFPPFFRRϕm2009-11-912摩擦系数的测定：OA绕O轴转动使物块刚开始下滑时测出α角，tanα=f,(该两种材料间静摩擦系数)fFFfFFm=⋅==NNNmaxtanϕ（翻页请看动画）自锁应用举例RmFNF2009-11-9132009-11-914螺旋千斤顶的自锁条件螺纹的自锁条件是使螺纹的升角αm小于或等于摩擦角ϕm。α≤ϕm2009-11-9152009-11-9161.临界平衡状态摩擦问题分析●应用Fmax=fsFN或F≤fsFN作为补充方程。考虑摩擦时的平衡问题的分析与前面相同。但要特别注意摩擦力的分析，其中重要的是判断摩擦力的方向和大小。两种情况●根据物体的运动趋势来判断其接触处的摩擦力方向，不能任意假设。在许多情况下其结果是一个不等式或范围。§4-3考虑摩擦时物体的平衡问题§4-3考虑摩擦时物体的平衡问题2009-11-9172.平衡范围内摩擦问题分析当物体平衡时，摩擦力Fs和支承面的正压力FN彼此独立。摩擦力Fs的指向可以假定，大小由平衡方程决定。例如判断物体是否平衡，求摩擦力大小等问题。分析支承面摩擦力的要点⑴应根据物体在主动力的运动趋势来判断其接触处的摩擦力方向。⑵当物体平衡时，摩擦力F的大小可以取零与Fmax之间的某个值，即有一个平衡范围。0≤F≤Fmax2009-11-918θGFP取物块为研究对象。1.设FP值较小,物块有沿斜面向下滑动的趋势，受力分析如图。列平衡方程解1解析法,0=∑xF0sincossP=−+θαGFF,0=∑yF0sincosPN=−−θθFGFθGFpFsyxFN[例]在倾角θ大于摩擦角ϕm的固定斜面上放有重G的物块，为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力FP。试求这力容许值的范围。2009-11-919θθcossinPsFGF−=θθsincosPNFGF+=联立求解得θGFPFsyxFN将代入上式得mstanϕ=f,0NssFfF≤≤在平衡范围内所以解得使物块不致下滑的F值θθcossinPFG−)sincos(PsθθFGf+≤GffFθθtan1tanssP+−≥（a）()mtanϕθ−=GGffFθθtan1tanssP+−≥2009-11-9202.设F值较大，物块有沿斜面向上滑动的趋势，受力分析如图。θGFPFNFsxy,0=∑xF,0=∑yF0sincossP=−−θθGFF0sincosPN=−−θθFGFθθcossinPsFGF+−=θθsincosPNFGF+=联立求解列平衡方程在平衡范围内所以,0NssFfF≤≤θθcossinPFG−−)sincos(PsθθFGf+≤2009-11-9213.综合条件（a）和（b），得θGFPFNFsxy()()mPmtantanϕθϕθ+≤≤−GFG解得使物块不致上滑的FP值将代入上式得mstanϕ=fGffFθθtan1tanssP+−≤（b）()mtanϕθ+=GGffFθθtan1tanssP+−≤θθcossinPFG−−)sincos(PsθθFGf+≤2009-11-922解2几何法1.设FP值较小,物块有沿斜面向下滑动的趋势，静摩擦力向上，受力分析如图a。θGFpFsFN（a）（b）物块在三个力G、FP和FR作用下处于平衡（如图b所示），这三个力组成闭合的力直角三角形（如图c所示）。（c）()ϕθ−=tanPGF0mϕϕ≤≤在平衡范围内当FP=FPmax时,φ=φm()mPtanϕθ−GF≥可得使物块不致下滑的FP值2009-11-9232.设F值较大，物块有沿斜面向上滑动的趋势，静摩擦力向下，受力分析如图d。θGFpFsFN（d）物块在三个力G、FP和FR作用下处于平衡（如图e所示），这三个力组成闭合的力直角三角形（如图f所示）。()ϕθ+=tanPGF0mϕϕ≤≤在平衡范围内当FP=FPmax时,φ=φm()mPtanϕθ+GF≤可得使物块不致上滑的FP值（e）（f）2009-11-924[例]梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦系数f=0.5,求α多大时，梯子能处于平衡？解：考虑到梯子在临界平衡状态有下滑趋势，做受力图。ANFBNF2009-11-925)2(0,0)1(0,0NN−−−−=−+=−−−−−−=−=∑∑PFFFFFFBAyABx由)5()4(NN−−−−−−−−⋅=−−−−−−−−⋅=BBAAFfFFfF)3(0sincoscos2,0minNminmin−−−=⋅−⋅⋅−⋅⋅=∑αααlFlFlPMBBA)3(1,1,1:22N2N代入解得fPPFffPFfPFBBA+−=+=+='022min87365.025.01arctan21arctan:=×−=−=ffα得注意，由于α不可能大于，所以梯子平衡倾角α应满足°900'0908736≤≤αANFBNF问题：对应于α取最小，为什么（4）和（5）同时成立？2009-11-926[例]已知：B块重Q=2000N，与斜面的摩擦角ϕ=15∘，A块与水平面的摩擦系数f=0.4，不计杆自重。求：使B块不下滑，物块A最小重量。解：①研究B块，若使B块不下滑QQFFFFFQFQFFRABRABxRRy⋅+=++=+⋅==+⋅−=+==−+⋅=∑∑)cot()sin()cos()cos(0)cos(,0)sin(0)sin(,0ϕαϕαϕαϕαϕαϕαϕα由1NFRFABF2009-11-927)N(500020004.0)1530(cot)(cot,0,0N=×+=+=′=∴⋅=⋅=′=−′=°°∑QffFPPfFfFFFFABABABxϕα②再研究A块ABF′NF2009-11-928[例]匀质长方块的高度为h，宽度为b，重量为G。它与地面间的静摩擦因数为fs。在A点作用一个水平向左的力FP。当FP从零逐渐增大时，试分析物块是先滑动还是先倾倒。hbAGGFPBOC2009-11-929解:取木箱为研究对象，受力分析如图。（1）设物块即将先向左滑动，则有条件()02,00,00,0pNNPs=+−==−==−=∑∑∑hFGbxFMGFFFFFOyxFGfFPs1=可解得使物块向左滑动的临界值为列平衡方程hxbADGFsFNFPCBEOFs=fsFN和x≠02009-11-930()02,00,00,0pNNPs=+−==−==−=∑∑∑hFGbxFMGFFFFFOyxFhxbADGFsFNFPCBEO（2）设物块即将先绕O点翻倒，则有条件x=0和FsfsFN可解得物块即将先绕O点倾倒的临界值GhbFP22=2009-11-931GfFps1=使物块向左滑动的临界值使物块即将先绕O点翻倒的临界值GhbFP22=hxbADGFsFNFPCBEO 讨论物块先向左滑动。物块先绕O点倾倒。物块同时发生滑动和倾倒。21PPFFhbF2s即z21PPFFhbF2s即z21PPFF=hbF2s=即z2009-11-932解：①作法线AH和BH②作A,B点的摩擦角ϕ交E,G两点③E,G两点间的水平距离lCD为人的活动范围[例]水平梯子放在直角V形槽内，略去梯重，梯子与两个斜面间的摩擦系数（摩擦角均为ϕ），如人在梯子上走动，试分析不使梯子滑动，人的活动应限制在什么范围内？lRFANFRFRFRFBNF2009-11-933090=∠=∠AGBAEB)60cos()30sin()60cos()30cos()60sin()30cos(000000ϕϕϕϕϕϕ+−=+=+−=+=ABBGBDABAEAC所以人在AC和BD段活动都不能满足三力平衡必汇交的原理，只有在CD段活动时，才能满足三力平衡必汇交，能交上（有交点）证明：由几何关系lRFANFRFRFRFBNF2009-11-934[例]图示为颚式破碎机，已知颚板与被破碎石料的静摩擦因数f＝0.3，试确定正常工作的箝制角α的大小。（不计滚动摩擦）解：为简化计算，将石块看成球形，并略去其自重。根据破碎机正常工作时岩石应不被挤压滑出颚板的条件，用几何法求解，岩石只在两处受力，此两力使岩石维持平衡必须共线，按自锁条件它们与半径间的最大角度应为ϕm。2009-11-9352′233=2≤2′416=arctan=3.0=mmooϕαϕffmm2≤≤2ϕαϕα2009-11-936[例]质量m＝20kg的均质梁AB，受到力F＝254N的作用。梁的A端为固定铰链，另一段搁置在质量M＝35kg的线圈架芯轴上。在线圈架的芯轴上绕一不计质量的软绳，如图所示，如不计滚动摩擦，试求最少要在此绳上作用一多大的力FT，才能使线圈架运动？线圈架与AB梁和地面E的滑动摩擦因数分别为fD＝0.4，fE＝0.2，图中R＝0.3m，r＝0.1m。2009-11-937解：线圈架由静止状态开始运动，就其临界状态而言，运动形式有三种可能性：（1）D和E均发生滑动；（2）沿地面滚动而无滑动；（3）沿AB梁滚动而无滑动。以AB梁为研究对象以线圈架为研究对象()()()N30032023,0NN=+==×+−=ΣmgFFmgFFMDDAFN6430,0NNNN=+==−−=ΣmgFFmgFFFDEDEy2009-1