第一章1.1第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用

第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用[学习目标]1.进一步理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理(重点)．2.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题(难点)．1．两个计数原理的区别用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成．2．应用分类加法计数原理的注意事项分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．3．应用分步乘法计数原理的注意事项分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．1．某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生、女生各一人去参加座谈会，则不同的选法有()A．48种B．24种C．14种D．12种解析：从8名男生中任意挑选一名参加座谈会，共有8种不同的选法，从6名女生中任意挑选一名参加座谈会，共有6种不同的选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法共有8×6＝48(种)．答案：A2．(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展开式中的项数是()A．48项B．36项C．24项D．12项解析：要得到项数分三步：第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法．由分步乘法计数原理知，共有2×3×4＝24(项)．答案：C3．某电话局的电话号码为139××××××××，若前七位已定好，最后四位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有()A．8个B．16个C．20个D．32个解析：采用分步计数的方法，四位数字由6或8组成，可分四步完成，每一步有两种方法，根据分步乘法计数原理有2×2×2×2＝24＝16(个)．答案：B4．定义集合A与B的运算A⊗B如下：A⊗B＝{{x，y}|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A⊗B的元素个数为()A．34B．43C．12D．16解析：确定A⊗B中元素(x，y)，可分为两步，第一步，确定x，共有3种方法；第二步确定y，有4种方法，根据分步乘法计数原理，不同的方法共有3×4＝12(种)，即集合A⊗B的元素有12个．答案：C5．如图所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C，若经过点B，有________种不同的走法．若可经过点B，也可不经过点B，有________种不同的走法．解析：经过点B，不同的走法有2×2＝4(种)．若可经过点B，也可不经过点B，不同的走法有2×2＋2＝6(种)．答案：46类型1组数问题(自主研析)[典例1]已知0，1，2，3，4这五个数字．(1)用这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位密码？(2)用这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位数？(3)用这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？解：(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120(个)．(2)直接法．完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96(个)．间接法．先求出所有的四位数的个数(包括首位为0的情况)，再减去首位为0的四位数的个数，即N＝5×4×3×2－4×3×2＝96(个)．(3)完成“组成无复重数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个有2种方法，第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法，第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36(个)．归纳升华对于组数问题的计数要注意：(1)在同一题目中涉及这两个原理时，必须搞清是先“分类”，还是先“分步”，“分类”和“分步”的标准是什么．(2)对于数字问题，要注意是否允许数字重复，各位上的数字是否受到某些条件限制．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领来分类，每类中再分步来计数．(3)当类别较多时，可用间接法．[变式训练]由数字0，1，2，3，4，5能组成多少个没有重复数字的四位数？解：第一步：千位上有1，2，3，4，5，共5种选法；第二步：百位上可以从剩余的5个数中选1个，共5种选法；第三步：十位上可从剩余的4个数中选1个，共4种选法；第四步：个位上可从剩余的3个数中选1个，共3种选法．利用分步计数原理，可组成的没有重复数字的四位数共有5×5×4×3＝300(个)．类型2分配问题[典例2](1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种(2)从四人中选派2人值两天夜班，每班1人，则不同值班方法的种数为________．解析：(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案，则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.(2)设四人依次为A，B，C，D，从中选出2人值两天夜班，排班方案有如下几种：AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC.即共有12种不同的值班方法．答案：(1)C(2)12归纳升华1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：(1)直接法．直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．(2)间接法．去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．[变式训练]8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？解：分三步，每位同学取书一本，第1、2、3个同学分别有8、7、6种取法，因而由分步乘法计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(种)．类型3涂色问题[典例3]如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种(以数字作答)?解：当使用四种颜色时，先着色第1区域，有4种方法，剩下3种颜色涂其他四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有3×2×2＝12(种)，由分步乘法计数原理得，共有4×12＝48(种)．当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色第1区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由分步乘法计数原理得有4×3×2＝24(种)．综上，共有48＋24＝72(种)．归纳升华求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析．[变式训练]如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()A．96B．84C．60D．48解析：可依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，种法有4×3×1×3＝36(种)；当C与A所种花不同时，种法有4×3×2×2＝48(种)．由分类加法计数原理得，不同的种法种数为36＋48＝84.答案：B用两个计数原理解决计数问题时，要明确需要分类还是需要分步．(1)分类：是将完成这件事的所有方式分类．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步：是将完成这件事的每一个方式分步．分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于有些计数问题的解决，对它们既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，那么此时就要注意综合运用两个计数原理来解决问题．解决这类问题，首先，要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次，在“分类”和“分步”的过程中，均要确定明确的分类标准和分步程序．