基本不等式课件.ppt

利用基本不等式求函数的最值默写：基本不等式基本不等式重要结论若a≥0,b≥0,则2abab≤（当且仅当a=b时取“=”）．若a∈R,b∈R，则2()2abab≤(当且仅当a=b时取“=”).若a∈R,b∈R，则222abab≥(当且仅当a=b时取“=”)．若ab＞０，则2baab≥(当且仅当a=b时取“=”)．两个重要结论：已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最值是(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当时，xy有最值是(简记：和定积最大)．x＝y小x＝y大2ps24应用前提：一正：即所求最值得各项必须是正值二定:即含变量的各项的和或者积必须是常数三相等:具备不等式等号成立的条件，使函数取得最大值或者最小值经典例题例1求函数1(0)2yxxx的最值．思路分析例1求函数1(0)2yxxx的最值．思路1：由基本不等式，可得1122.22yxxxx≥21122xxx当且仅当,即等号成立.20,2xx又所以时,等号成立.知识模糊审题不清所以函数的最小值为2,无最大值．缺少运用基本不等式的条件——a,b为正实数．思路分析例1求函数1(0)2yxxx的最值．思路2：将函数式变形为1()2yxx合理配凑创设情境求解过程由x0，可得10,0.2xx解所以函数的最大值为2,无最小值．所以112()()2.22xxxx≥从而11()22yxxxx2.≤各项为正易错！当且仅当1,2xx即2(0)2xx时等号成立．拓展延伸延伸1求函数2(1)1yxxx的最小值．思路１：由20,01xx，所以222.11xxxx≥并非定值,此法错误！结论错误此时min2222.11y当且仅当21xx，即x=1时等号成立．拓展延伸思路2：将函数式变形为221)111yxxxx=(-.22(1)1221.1xx≥所以函数的最小值为221．积为定值！当且仅当211xx，即21x时等号成立．延伸1求函数2(1)1yxxx的最小值．拓展延伸延伸2求函数2(1)1yxxx≥的最小值．将函数式变形为221)11yxxxx=(-122(1)1221.1xx≥解在定义域中吗？等号取不到！当且仅当21,1xx即21x时等号成立．思路分析求函数()(0,0,)bfxaxabxDx的最值，一般可用基本不等式求解，但必须保证取到等号．若取不到等号，可利用函数的单调性求解．思路分析在区间(,][,)和bbaa上单调递增，在区间[,0)(0,]和bbaa上单调递减．函数()(0,0)bfxaxabx的单调性为：xyobaba求解过程解先利用函数单调性定义证明2(1)1yxxx≥在[1,)上单调递增（略）．所以当x=1时，min2.y回顾反思利用基本不等式求函数的最值问题时需注意:(1)“一正、二定、三相等”这三者缺一不可.(2)注重等价变形，合理“配项、凑项”,正确使用均值不等式.(3)若使用基本不等式，但等号不能取到，则可考虑利用函数的单调性求解.变式训练：(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；(2)已知x＜54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值；(3)已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．(4)设0＜x＜52，则函数y＝4x(5－2x)的最大值为______．(5)设x＞－1，则函数y＝x＋5x＋2x＋1的最小值为________．(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值解(1)∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥24ab＝4ab，当且仅当4a＝b＝12，即a＝18，b＝12时，等号成立．∴ab≤14，∴ab≤116.所以ab的最大值为116.(2)已知x＜54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值；解因为x＜54，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.(3)已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．解：∵f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a，当且仅当4x＝ax，即4x2＝a时f(x)取得最小值．又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.(4)设0＜x＜52，则函数y＝4x(5－2x)的最大值为______．解：因为0＜x＜52，所以5－2x＞0，所以y＝4x(5－2x)＝2×2x(5－2x)≤22x＋5－2x22＝252，当且仅当2x＝5－2x，即x＝54时等号成立，故函数y＝4x(5－2x)的最大值为252.(5)设x＞－1，则函数y＝x＋5x＋2x＋1的最小值为________．解：因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以y＝x＋5x＋2x＋1＝x2＋7x＋10x＋1＝x＋12＋5x＋1＋4x＋1＝x＋1＋4x＋1＋5≥2x＋1×4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时等号成立，故函数y＝x＋5x＋2x＋1的最小值为9.有限制条件的最值问题典例分析1222,xyxy≥111222242.≥≥xyxy两次取“=”号的条件不“相容”.错因：解典型错误122xy≤,，即122.xy≥已知正数x、y满足2x+y=1.求11xy的最小值.即11xy的最小值为42.求解过程解2,21,yxxy由得1,222.22xy此时min322.y23yxxy“1”代换法1122xyxyxyxy232322.yxxy≥当且仅当2yxxy，即2yx时取=号．变式训练：（1）(2015·新余模拟)设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则1a＋1b的最小值是()A．2B.14C．4D．8解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案C(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；解：由x＋3y＝5xy，得3x＋1y＝5(x＞0，y＞0)，则3x＋4y＝15(3x＋4y)3x＋1y＝1513＋12yx＋3xy≥1513＋212yx·3xy＝15(13＋12)＝5，当且仅当12yx＝3xy，即x＝2y时，等号成立，此时由x＝2y，x＋3y＝5xy，解得x＝1，y＝12.回顾反思利用基本不等式求解最值问题，要根据代数式或函数解析式的特征灵活变形，凑积或和为常数的形式条件最值问题要注意常数的代换，凑成基本不等式的形式求解最值作业：完成相应课时作业本设x＞－1，则函数y＝x＋5x＋2x＋1的最小值为________．