对数函数的讲解

第五节对数函数【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)对数的概念:如果ax=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=_____.logaN(2)对数的性质、换底公式与运算性质:性质①loga1=__;②logaa=__;③=__.换底公式logab=_______(a,c均大于0且不等于1,b0)运算性质如果a0,且a≠1,M0,N0,那么:①loga(M·N)=___________;②loga=___________;③logaMn=______(n∈R)alogNacclogblogaMN01NlogaM+logaNlogaM-logaNnlogaM(3)对数函数的定义、图象与性质:定义函数___________________叫做对数函数图象a10a1y=logax(a0,且a≠1)性质定义域:________值域:__________当x=1时,y=0,即过定点______当0x1时,y0;当x1时,____当0x1时,y0;当x1时,____在(0,+∞)上为_______在(0,+∞)上为_______(0,+∞)(-∞,+∞)(1,0)y0y0增函数减函数2.必备结论教材提炼记一记(1)换底公式的两个重要推论①logab=②其中a0,且a≠1,b0,且b≠1,m,n∈R.b1;logamnaanlogblogb.m(2)对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0cd1ab.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:换元法、图象平移法.(2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想.(3)记忆口诀:①换底公式的记忆口诀换底公式真神奇,换成新底可任意,原底加底变分母,真数加底变分子.②对数函数性质口诀对数函数很简单,图象恒过(1,0)点.a大1时单调增,(0,1)之间单调减.图象都在y轴右,第一象限底逆减.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)logax2=2logax.()(3)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.()(4)若logamlogan,则mn.()1x1x2.教材改编链接教材练一练(1)(必修1P68T3(2)改编)的值是()A.B.1C.10D.100lg5lg20123.真题小试感悟考题试一试(1)(2015·哈尔滨模拟)函数y=的定义域为()A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]2lnx1x3x4(2)(2014·陕西高考)已知4a=2,lgx=a,则x=.(3)(2015·唐山模拟)函数f(x)=ln(x+1)的单调增区间是.【规律方法】对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.提醒:在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.【变式训练】1.(2014·安徽高考)计算：=.34331654()loglog8145【加固训练】1.(2014·大连模拟)若2a=5b=m,且=2,则实数m的值为()11ab＋A.2B.3C.5D.10考点2对数函数的图象及应用【典例2】(1)(2014·山东高考)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数.其中a0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a1,c1B.a1,0c1C.0a1,c1D.0a1,0c1【规律方法】利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.【变式训练】(2014·福建高考)若函数y=logax(a0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()【解题提示】利用图象的变换知识,或利用函数的增减性来排除干扰项.【解析】选B.由题得,a=3,因此,A选项函数为y=3-x=,在定义域内是减函数,图象不对;B选项函数为y=x3,图象正确;C选项函数为y=(-x)3,在定义域内应是减函数,图象不对;D选项y=log3(-x)应与y=log3x的图象关于y轴对称,因此不符.x1()3【加固训练】1.函数y=的图象大致为()xxxxeelnee2.函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为()A.0B.1C.2D.3考点3对数函数的性质及其应用知·考情对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,主要考查比较对数值的大小,解简单的对数不等式,有时考查判断对数型函数的单调性、奇偶性及最值问题.多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有.明·角度命题角度1:求函数的定义域【典例3】(2014·山东高考)函数f(x)=的定义域为()A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)21logx1【解题提示】本题考查了函数的定义域,对数函数的性质,利用定义域的求法:1.分母不为零;2.被开方数为非负数;3.真数大于0求定义域.【解析】选C.由定义域的求法知:解得x2,故选C.2x0,logx10,命题角度2:比较对数值的大小【典例4】(2014·辽宁高考)已知则()A.abcB.acbC.cabD.cba【解题提示】结合指数函数与对数函数的图象及性质,判断a,b,c的范围,确定大小.1321211a2,blog,clog.33【解析】选C.由于指数函数y=2x在R上为增函数,则020=1;而对数函数y=log2x为(0,+∞)上的增函数,则log2log21=0;对数函数y=为(0,+∞)上的减函数,则=1.综上可知,cab.1321312logx112211loglog32命题角度3:解对数不等式【典例5】(2015·宁波模拟)设函数f(x)=若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1).B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)212logx,(x0)logx,(x0)＞＜【解题提示】由a0或a0并结合f(a)f(-a),列出不等式组求解,化简中注意到换底公式的应用.【规范解答】选C.由题意可得或解得a1或-1a0.22a0,logaloga122a0,logaloga.悟·技法1.求对数型函数定义域的策略.列出对应的不等式(组)求解,注意对数函数的底数和真数的取值范围.2.比较对数式大小的类型及相应的方法.(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.3.解对数不等式的类型及方法.(1)形如logaxlogab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0a1两种情况讨论.(2)形如logaxb的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.通·一类1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a=log32,b=log52,c=log23,则()A.acbB.bcaC.cbaD.cab【解析】选D.方法一:a=log32log33=1,b=log52log55=1,c=log23log22=1,又log32=,log52=,lg3lg5,所以log32log52,综上cab.故选D.方法二:因为23,12,所以log3log32log33,log51log52log5,log23log22,所以a1,0b,c1,所以cab.lg2lg3lg2lg5353512122.(2015·开封模拟)设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)【解析】选D.当x≤1时,21-x≤2,解得x≥0,所以0≤x≤1;当x1时,1-log2x≤2,解得x≥,所以x1.综上可知x≥0.1x22,x1,1logx,x1,123.(2015·中山模拟)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a0,a≠1),若f(x)1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为.【解析】当a1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)1恒成立,则f(x)min=loga(8-2a)1,解之得1a,83若0a1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数,由f(x)1恒成立,则f(x)min=loga(8-a)1,故8-2a0,所以a4,又因为0a1,故不存在.综上可知,实数a的取值范围是(1,).答案:(1,)8383自我纠错6对数函数的参数求值问题【典例】(2015·兰州模拟)已知函数y=logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大1,则a的值为____.【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:对数函数的底数含有参数a,错在没有讨论a与1的大小关系而直接按a1解题.【规避策略】1.注意分类讨论对数函数的底数决定了对数函数的单调性,对数函数在闭区间上的最值取决于其单调性,如果对数函数的底数含有参数,在处理有关问题时,必须对参数进行讨论.2.解决与对数有关问题的两个关注点:(1)务必先研究函数的定义域.(2)对数函数的单调性取决于底数a,应注意底数的取值范围.【自我矫正】(1)若a1,则函数y=logax(2≤x≤4)为增函数,由题意得loga4-loga2=loga2=1,所以a=2,又21,符合题意.(2)若0a1,则函数y=logax(2≤x≤4)为减函数,由题意得loga2-loga4=loga=1,所以a=,又01,符合题意.综上可得a=2或a=.答案:2或1212121212