模糊数学-模糊集的基本运算

第二讲模糊集的基本运算2.1模糊集的表示方法•如前所述,模糊集合本质上是论域X到[0,1]的函数,因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外,还有以下的表示方法：•1.序偶表示法•A={(x,A(x)|xX}.•例如:用集合X={x1,x2,x3,x4}表示某学生宿舍中的四位男同学,“帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依次为:0.55,0.78,0.91,0.56,则以此评价构成的模糊集合A记为:•A={(x1,0.55),(x2,0.78),(x3,0.91),(x4,0.56)}.2.1模糊集的表示方法•2.向量表示法•当论域X={x1,x2,…,xn}时,X上的模糊集A可表示为向量A=(A(x1),A(x2),…,A(xn)).•前述的模糊集“帅哥”A可记为:•A=(0.55,0.78,0.91,0.56).•这种向量的第个分量都在0与1之间A(xi)[0,1],称之为模糊向量。•3.Zadeh表示法•当论域X为有限集{x1,x2,…,xn}时,X上的一个模糊集合可表示为•A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+…+A(xn)/xn.2.1模糊集的表示方法•前述的模糊集“帅哥”A可记为:•A=0.55/x1+0.78/x2+0.91/x3+0.56/x4.•注意,这里仅仅是借用了算术符号+和/,并不表示分式求和运算,而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属度值。•还可使用形式上符号,从而可用这种方法表示论域为有限集合或可列集合的模糊集。比如11()()/,niiiiiiAxAxxx2.1模糊集的表示方法•此外,Zadeh还可使用积分符号表示模糊集,这种表示法适合于任何种类的论域,特别是无限论域中的模糊集合的描述。与符号相同,这里的仅仅是一种符号表示,并不意味着积分运算。对于任意论域X中的模糊集合A可记为:()()/,xXxXAxAAxxAx或2.1模糊集的表示方法•模糊集“年轻”A可表示为[0,25]21(25,100)[100,200]125[1()]50xxxAxxxx2.1模糊集的表示方法•注意：当论域明确的情况下,在序偶和Zadeh表示法中,隶属度为0的项可以不写出。而在向量表示法中,应该写出全部分量。•例如,论域X为1到10的所有正整数,模糊集“几个”A可表示为：0/10/20.3/30.7/41/51/60.7/70.3/80/90/100.3/30.7/41/51/60.7/70.3/8(0,0,0.3,0.7,1,1,0.7,0.3,0,0)AAA或或2.2模糊集上的运算(定义)•1.几点说明•如前所述,经典集合可用特征函数完全刻画,因而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只取0,1两个值的模糊集)。•设X为非空论域,X上的全体模糊集记作F(X).于是,P(X)F(X),这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合).•特别地,空集的隶属函数恒为0,集X的隶属函数恒为1,即、X都是X上的模糊集。2.2模糊集上的运算(定义)•2.模糊集的包含关系•首先考查经典集合包含关系的特征。•设X为非空论域,A,B为X上的两个经典集合。AB当且仅当属于A的元素都属于B.•易证AB当且仅当对任意xX有A(x)B(x).X1X12.2模糊集上的运算(定义)•设X为非空论域,A,B为X上的两个模糊集合。称A包含于B(记作AB),如果对任意xX有A(x)B(x).这时也称A为B的子集。X1A(x)B(x)2.2模糊集上的运算(定义)•例,论域X={x1,x2,x3,x4}时,X上的模糊集A为:•A=(0.55,0.78,0.91,0.56).•X上的模糊集B为:•B=(0.35,0.52,0.65,0.37).•则根据定义有BA.帅哥超男•论域X上的模糊集A与B称为是相等的,如果AB且BA,即对任意xX有A(x)=B(x).2.2模糊集上的运算(定义)•3.模糊集的并•首先考查经典集合的并。•设X为非空论域,A,B为X上的两个经典集合。A∪B={xX|xA或xB}.•易证AB(x)=max{A(x),B(x)}=A(x)B(x).X1X12.2模糊集上的运算(定义)•设X为非空论域,A,B为X上的两个模糊集合。A与B的并(记作A∪B)是X上的一个模糊集,其隶属函数为•(A∪B)(x)=max{A(x),B(x)}=A(x)B(x),xX.(A∪B)(x)2.2模糊集上的运算(定义)•4.模糊集的交•非空论域X上的两个模糊集合A与B的交(记作A∩B)是X上的一个模糊集,其隶属函数为•(A∩B)(x)=min{A(x),B(x)}=A(x)B(x),xX.(A∩B)(x)2.2模糊集上的运算(定义)•5.模糊集的补•非空论域X上的一个模糊集合A的补(记作A或AC)是X上的一个模糊集,其隶属函数为•A(x)=1A(x),xX.2.2模糊集上的运算(定义)•注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形,即对任意指标集I,若Ai是X上的模糊集,iI.则模糊集的(任意)并、(任意)交定义为::[0,1];()(),.iiIiiiIiIAXAxAxxX:[0,1];()(),.iiIiiiIiIAXAxAxxX2.2模糊集上的运算(定义)•例设论域X={x1,x2,x3,x4}为一个4人集合,X上的模糊集合A表示“高个子”:A={(x1,0.6),(x2,0.5),(x3,1),(x4,0.4)}.模糊集合B表示“胖子”:B={(x1,0.5),(x2,0.6),(x3,0.3),(x4,0.4)}.•则模糊集合“高或胖”为:•A∪B={(x1,0.6∨0.5),(x2,0.5∨0.6),(x3,1∨0.3),(x4,0.4∨0.4)}={(x1,0.6),(x2,0.6),(x3,1),(x4,0.4)}.•模糊集合“又高又胖”为:•A∩B={(x1,0.5),(x2,0.5),(x3,0.3),(x4,0.4)}.•模糊集合“个子不高”为:•A={(x1,0.4),(x2,0.5),(x3,0),(x4,0.6)}.2.3模糊集的运算性质•1.经典集合的运算性质•经典集合关于并、交、补运算具有以下性质:•定理2.3.1设X为论域,A,B,C为X上的经典集合,则(1)幂等律:A∪A=A,A∩A=A;•(2)交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;•(3)结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),•(A∩B)∩C=A∩(B∩C);•(4)吸收律:A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A;•(5)分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),•A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);2.3模糊集的运算性质•(6)对合律(复原律):(A)=A;•(7)两极律(同一律):A∩X=A,A∪X=X,•A∩=,A∪=A;•(8)DeMorgan对偶律:(A∪B)=A∩B,•(A∩B)=A∪B;•(9)排中律(互补律):A∪A=X,A∩A=.•注：满足上述前四条规律的代数系统称为格(可诱导出一个序ABA∩B=AA∪B=B),满足以上9条性质的代数系统称为布尔代数(Booleanalgebra,即“有补的有界分配格”.其中,对合律、DeMorgan对偶律可由其它条件导出).2.3模糊集的运算性质•2.模糊集合的运算性质•模糊集合关于并、交、补运算具有以下性质:•定理2.3.2设X为论域,A,B,C为X上的模糊集合,则(1)幂等律:A∪A=A,A∩A=A;•(2)交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;•(3)结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),•(A∩B)∩C=A∩(B∩C);•(4)吸收律:A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A;•(5)分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),•A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);2.3模糊集的运算性质•(6)对合律(复原律):(A)=A;•(7)两极律(同一律):A∩X=A,A∪X=X,•A∩=,A∪=A;•(8)DeMorgan对偶律:(A∪B)=A∩B,•(A∩B)=A∪B.•注：模糊集中互补律不成立(参见下面的反例).满足以上8条性质的代数系统称为DeMargan代数,也称为软代数(softalgebra).•反例设论域X={a,b}上的模糊集A={(a,0.6),(b,0.3)}.则A={(a,0.4),(b,0.7)}.从而A∪A={(a,0.6),(b,0.7)}X,A∩A={(a,0.4),(b,0.3)}.2.3模糊集的运算性质•证明DeMorgan对偶律:•对任意xX,由于•((A∪B))(x)=1(A∪B)(x)•=1(A(x)∨B(x))•=(1A(x))∧(1B(x))•=A(x)∧B(x)•=(A∩B)(x).•所以(A∪B)=A∩B.•同理可证(A∩B)=A∪B.2.4L型模糊集•本节把模糊集合的隶属度取值范围推广到一般格上,并研究这类广义模糊集合及其性质。•1.偏序集与格•定义2.4.1称(P,)为偏序集,若P上的二元关系满足以下三个条件:•(1)自反性:aP,aa;•(2)反对称性:ab且baa=b;•(3)传递性:ab且bcac.•对于偏序集(P,),如果对于任意a,bP总有ab或ba成立,则称P为线性序集或全序集。2.4L型模糊集•设(P,)为偏序集,若存在aP使得对任意bP都有ab,则称a为P的最小元。若存在aP使得对任意bP都有ba,则称a为P的最大元。•易知,如果偏序集有最小元或最大元,则最小元或最大元是惟一的。为此,记0为最小元素,1为最大元素。•设(P,)为偏序集,XP,若存在aP使得对任意xX都有xa,则称a为X的上界。如果X的上界集合有最小元素,则称它为X的最小上界或上确界,记为supX或∨X.对偶地,可以定义下界、最大下界或下确界(记为infX或∧X)。2.4L型模糊集•定义2.4.2偏序集(L,)称为格,如果a,bP,上确界a∨b与下确界a∧b都存在。•任意子集都有上、下确界的格称为完备格。•上、下确界运算满足分配律的格称为分配格,这里分配律指有限分配律。•定理2.4.3设(L,)为格,则上、下确界运算满足:•(1)幂等律:a∨a=a,a∧a=a;•(2)交换律:a∨b=b∨a,a∧b=b∧a;•(3)结合律:(a∨b)∨c=a∨(b∨c),•(a∧b)∧c=a∧(b∧c);•(4)吸收律:a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a.2.4L型模糊集•定理2.4.4设代数系统(L,∨,∧)中的二元运算∨,∧满足:•幂等律:a∨a=a,a∧a=a;•交换律:a∨b=b∨a,a∧b=b∧a;•结合律:(a∨b)∨c=a∨(b∨c),•(a∧b)∧c=a∧(b∧c);•吸收律:a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a.•则:(1)a∧b=aa∨b=b;•(2)在L中定义二元关系如下aba∧b=a.那么(L,)是格,且∨,∧正好是这个格(L,)的上、下确界运算。2.4L型模糊集•2.Boole代数与DeMorgan代数•定义2.4.5设L是有界分配格,0,1分别是其最大元和最小元。对任意aL,若存在aL使得a∨a=1,a∧a=0,则称L为布尔代数。•定义2.4.6设P是偏序集,h:PP是映射。如果当ab时恒有h(a)h(b),则称h为保序映射。如果当ab时恒有h(b)h(a),则称h为逆序映射。如果逆序映射h满足对合律h(h(a))=a,则h称为逆序对合对应或逆合映射,也称h为伪补。2.4L型模糊集•定义2.4.7设L是有界分配格,h:LL是L上的一元运算且满足•(