从高考试题看圆锥曲线

从高考试题看圆锥曲线的复习温州中学张良兵一.命题规律2006数学卷2007数学卷卷型（理）题序及考点分值题序及考点分值全国卷Ⅰ3双曲线8直线+抛物线20椭圆+向量224双曲线11抛物线21椭圆+不等式22全国卷Ⅱ5椭圆+三角形9双曲线21抛物线+向量2411双曲线12抛物线+向量20直线+圆+向量+数列22北京卷19双曲线+向量1417直线+圆19椭圆+导数27天津卷2双曲线14圆22椭圆+向量234双曲线+抛物线14直线+圆22椭圆+圆23上海卷2直线+圆7椭圆20抛物线+向量228双曲线+抛物线11圆+三角函数21椭圆+直线26浙江卷5双曲线19椭圆+直线199双曲线17线性规划+圆20直线+椭圆23辽宁卷4双曲线+线性规划8椭圆+双曲线10直线+椭圆20.直线+向量+圆2911双曲线14椭圆+向量20抛物线+圆+向量+三角函数23江苏卷2圆6抛物线+向量17抛物线+双曲线223双曲线15椭圆+三角函数19抛物线+直线+向量+简易逻辑24福建卷10双曲线+直线14直线+抛物线20椭圆+圆+直线216双曲线+圆20直线+抛物线16湖北卷7椭圆1320椭圆+圆247双曲线+抛物线10直线+圆+排列组合19抛物线+圆+直线23湖南卷7双曲线+直线10直线+圆21直线+椭圆+抛物线249椭圆+直线11直线+圆21双曲线+向量24广东卷8双曲线18导数+向量+圆1911抛物线+直线13直线+圆+参数方程18椭圆+圆+直线24重庆卷3直线+圆22椭圆+数列+导数+不等式1716双曲线22椭圆+三角函数16山东卷7椭圆14抛物线+直线21椭圆+双曲线+向量2113抛物线+向量15直线+圆21椭圆+圆+直线20江西卷4抛物线+向量9双曲线+圆16直线+圆21椭圆+直线+三角函数269椭圆+圆+二次方程16直线+圆21双曲线+直线+向量+三角函数21安徽卷3抛物线+椭圆22双曲线197线性规划+圆9双曲线+圆19抛物线+圆22四川卷6圆15椭圆21双曲线+向量+直线215双曲线8抛物线+直线15圆+直线20直线+椭圆+向量26陕西卷7双曲线21抛物线+向量173抛物线7双曲线+直线+圆21椭圆+直线+不等式24宁夏海南卷6抛物线13双曲线+直线19椭圆+直线+向量22直线+圆+极坐标32圆锥曲线的考查主要是：⑴给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；⑵给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；⑶给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等）；⑷讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；⑸考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、数列、不等式、三角函数、向量、导数等）。二.试卷特点1.突出重点知识的考查2.注重数学思想与方法的考查浙江卷理20（文21）、全国卷Ⅰ理21（文22）、等考查了函数与方程思想如图，直线ykxb与椭圆2214xy交于AB，两点，记AOB△的面积为S．（I）求在0k，01b的条件下，S的最大值；（II）当2AB，1S时，求直线AB的方程．AyxOB已知椭圆22132xy的左、右焦点分别为1F，2F．过1F的直线交椭圆于BD，两点，过2F的直线交椭圆于AC，两点，且ACBD，垂足为P．（Ⅰ）设P点的坐标为00()xy，，证明：2200132xy；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．陕西卷理21（文22）、天津理22等考查了分类讨论思想；已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求AOB△面积的最大值．设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FFA，，是椭圆上的一点，212AFFF，原点O到直线1AF的距离为113OF．（Ⅰ）证明2ab；（Ⅱ）设12QQ，为椭圆上的两个动点，12OQOQ，过原点O作直线12QQ的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．3.注重学科知识的综合1.突出重点知识的考查2.注重数学思想与方法的考查二.试卷特点圆锥曲线与向量知识的结合(07全国卷Ⅱ第12题)设F为抛物线24yx的焦点，ABC，，为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则FAFBFC（）A．9B．6C．4D．3yxOFACBFCFBFAxxFCxxFBxxFA,,FAFBFC033FCBAxxxx12AAxpxFA12BBxpxFB12CCxpxFCFAFBFC63CBAxxx（07江苏卷理第15题）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点(4,0)A和(4,0)C，顶点B在椭圆2212516xy上，则sinsinsinACB.圆锥曲线与三角函数知识的结合圆锥曲线与排列组合的结合（07湖北卷理第10题）已知直线1xyab（ab，是非零常数）与圆22100xy有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A．60条B．66条C．72条D．78条212C交线有条切线有12条过原点的交线有6条点的有与坐标轴平行但不过原8条与坐标轴平行的切线有46048612212C（07北京卷理第19题）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记2CDx，梯形面积为S．（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积S的最大值．4rCDAB2r圆锥曲线与导数、不等式的结合圆锥曲线与数列的结合（07全国卷Ⅱ理第20题）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线34xy相切．（1）求圆O的方程；（2）圆O与x轴相交于AB，两点，圆内的动点P使PAPOPB，，成等比数列，求PBPA的取值范围．3.注重学科知识的综合4.求真务实，有创意1.突出重点知识的考查2.注重数学思想与方法的考查二.试卷特点07浙江卷理20（文21）是由陈题改编过来的，以椭圆为载体将直线、椭圆、不等式进行整合既考查了不等式的最值又考查了函数方程思想，是一道务实的题目。07北京理19考查学生应用圆锥曲线解决实际问题的能力如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记2CDx，梯形面积为S．（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积S的最大值．4rCDAB2r07上海卷理21，把焦点位置不同的两个椭圆合成为“果圆”，我们把由半椭圆12222byax(0)x≥与半椭圆12222cxby(0)x≤合成的曲线称作“果圆”，其中222cba，0a，0cb．如图，点0F，1F，2F是相应椭圆的焦点，1A，2A和1B，2B分别是“果圆”与x，y轴的交点．（1）若012FFF△是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）当21AA21BB时，求ab的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数k，使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在，说明理由．y1BO1A2B2A..1F0F2Fx.三.命题趋势08高考圆锥曲线内容在分值和题型上将继续保持稳定，重点仍然是直线与圆锥曲线（或圆与圆锥曲线,或圆锥曲线与圆锥曲线），热点主要体现在：直线与圆锥曲线的基础题；轨迹问题；范围与位置问题；最值问题；存在性问题；与平面向量或导数等其它知识相结合的问题.四.复习建议1.系统复习，构建知识网络(回归课本)如：高中现行教材《数学》第二册（上）132页第6题题1.在椭圆1204522yx上求一点,使它与两个焦点的连线垂直.题2.（2004年湖南卷文第15题）F1，F2是椭圆C：14822yx的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为__________.题3.（2007年全国卷Ⅱ文第12题）设12FF，分别是双曲线1922yx的左、右焦点．若点P在双曲线上，且021PFPF，则12PFPF（）A．10B．210C．5D．25高中现行教材第二册（上）85页例2题4.求证到圆心距离为a(a＞0)的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹.题5.如图，圆1O与圆2O的半径都是1，421OO，过动点P分别作圆1O、圆2O的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PNPM2。试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。2.总结规律，重视通性通法四.复习建议1.系统复习，构建知识网络(回归课本)在平时的训练中我们要善于总结规律和解决问题的方法。⑴圆锥曲线中对直线的考查如:直线过定点2kxy3)2(xkyyAxoB,02pFMN2px题6.(05山东卷理22题)已知动圆过定点,02p，且与直线2px相切，其中0p.（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当,变化且为定值(0)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。解:(Ⅰ)圆心的轨迹方程为:)0(22ppxy(Ⅱ)要证明AB过定点,则一定要求出直线AB的方程显然,BAxx这与矛盾,0直线AB的斜率存在所以AB的方程一定可以写成:BAxx若则nmxky)(yAxoB,02pFMN2px)0(22ppxyA,B是抛物线上的两点设),2(),,2(222121ypyBypyA则pypyyykAB22212212212yyp)2(2:21211pyxyypyyAB①yyyyxyypyAB2121212:即)0(212112tan,22tanypyppyy221214122tantan,2)1(pyyypyp时代入①)2(242:2121221pxyypyypxyypyABtantan1tantantan2)2(时，22121212214)(24122tanpyyyypyypypyp2122121212214tan2)(24tan1yypyyyypyyppyy代入将21221214tan2yyppyyyy①yyyyxyypyAB2121212:tan24221221pyypxyypytan2)2(221ppxyypy即：问题7.（2005全国高考卷Ⅱ理21（文22））P、Q、M、N四点都在椭圆1222yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知.0,,MFPFFNMFFQPF且线与共线与求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.F·PQMN问题8.（2007全国高考卷Ⅰ理21（文22））已知椭圆22132xy的左、右焦点分别为1F，2F．过1F的直线交椭圆于BD，两点，过2F的直线交椭圆于AC，两点，且ACBD，垂足为P．（Ⅰ）略（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．F1F2BDAC直线与圆锥曲线相切或相交问题，直线与圆锥曲线交于两点时弦长问题或弦上某点（或中点）的轨迹问题，焦点弦问题，或弦与其它点构成的三角形、四边形面积或面积的最值等问题。⑵圆锥曲线中对圆的考查以圆锥曲线的中心、焦点、顶点、准线或渐近线等构成圆的条件，求圆的方程，或证明、判断点与圆（或直线与圆）的位置关系；以圆锥曲线为背景构成动圆，证明动圆的性质或构成最值问题。ABxyNCO题9.（07湖北高考19题）在平面直角坐标系xOy中，过定点(0)Cp，作直线与抛物线22xpy（0p）相交于AB，两点．（I）略（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径