3.2复化求积公式习题及解答

3.2-3.5习题一、填空题1.梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）。(答案：错)2.已知(1)1.2,(2)1.4,(3)1.5fff，则用复合梯形公式计算求得31()fxdx，（答案：2.75）3.已知，在[0,1]内，有一位整数，用复合梯形求积公式计算要保证有3位有效数字，至少应将[0,1]（）等分。A.4B.5C.6D.74、(1)1,(2)2,(3)2fff，则[1,2,3]f_________，三点高斯求积公式20()fxdx______________.答案：)531(95)1(98)531(95,1213fff二、计算题1．建立Gauss型求积公式111220()()()fxdxAfxAfxx答案12120.0455363610.6421930581.0353012930.964698706xxAA2．试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？答案：，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的。3、用Romberg算法计算积分3201xxdx（只作两次外推）。解：取2,0,3tab(0)11(()())14.230249472Tfafb，1t，02(1)(0)11010111(()11.17136992222iTTfaba，2t，12(2)(1)1112011((21))10.44379685222ibaTTfai，外推流程如下：t()1tT()2tT()3tT01214.2302494711.1713699210.1517434010.4437968510.2012724910.20457443于是有320110.20457443xxdx4、试确定下列求积公式中的待定系数，指出其所具有的代数精度。①2''0()[(0)()][(0)()]2hhfxdxffhhffh；②101()()(0)();hhfxdxAfhAfAfh解：①分别将()1,fxx代入求积公式，易知求积公式精确成立，代入2()fxx，令求积公式精确成立，于是有333232hhh左右，可得112，代入3()fxx，于是44h左，444,244hhh右左右，求积公式成立，代入4()fxx，55h左，544,236hhh右左右，求积公式不精确成立，综合以上可知，该求积公式具有三次代数精度。②将21(),,fxxx分别代入求积公式，令求积公式成立，则有0120222022023()()AAAhhAAhAAh从而解得0211433,AAhAh，所求公式至少具有两次代数精度，且进一步有333()33hhhhxdxhh，444()33hhhhxdxhh从而原积分公式4()()(0)()333hhhhhfxdxfhffh具有三次代数精确度。5、对()[,]fxcab，已知求积公式为11211()[(1)(0.6306)3()]3fxdxfAffx试确定求积系数1A和积分点2x，使代数精度尽可能高，指出代数精度是多少。解：对()1fx，令求积公式成立，可得到12A，对()fxx，令求积公式成立，可得到211.261230x，于是20.0871x，对2()fxx，0.6667左，0.6060右6、试利用Lagrange线性插值导出如下求积公式0101()[()()]2xefxdxfxfx解：以节点01,xx作()fx的插值多项式011010110()()()xxxxLxfxfxxxxx，则有011010100001101()()()()[()()]2xxxxxxxefxdxeLxdxefxfxdxfxfxxxxx7、试利用以下两种方法计算311dxx，并与精确值比较。①用三点GaussLegendre公式；②用Romberg求积公式作三次外推。解：①设三点GaussLegendre求积节点为0121515,0,55ttt，相应求积系数为012585,,999AAA，11,3,()abfxx，令22abbaxt，则23111011.09803922222222iiibaabbabaabbadxftdtAftx，精确值为ln31.09861229，误差为415.730710R②利用Romberg求积公式作三次外推，结果如下：t()1tT()2tT()3tT()4tT01231.333333331.166666671.111111111.116666671.100000001.099259261.103210681.098725351.098640371.09863055误差为521.826110R