复变函数总复习

复变函数总复习第一章：复数与复变函数复数的概念复数的运算复数的几何表示1、复平面1）复数用平面上的点表示；2）复数用平面上的向量表示Ozzxyizxyi(,)xy3）复数的三角表示式及指数表示式（三角式）（指数式）2、复球面复数可以用复球面上的点表示扩充复平面复数的乘幂与方根1、积与商设，则arg(cos(arg)sin(arg))izzzzizze121122,iizrezre1212()()11121222,iizrzzrreezr2(0)rxyPNOS2、乘幂设则3、方根设，则复平面上的区域复变函数设复变函数的极限和连续izre(cossin)nninnzrerninizre222(cossin)(0,1,2,1)kinnnnkkzreriknnn000()(,)(,),,fzuxyivxyAabizxiy00000lim()lim(,),lim(,)zzxxxxyyyyfzAuxyavxyb;0)(I)1(mz;)(I)2(mz例满足下列条件的点组成何种图形?是不是区域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解是实数轴,不是区域.0)(ImzxyO是以为界的带形单连通区域.,yy解)(Imz622)3(zz是以为焦点,以3为半长轴的椭圆闭区域,它不是区域.232,32arg3)4(zz且不是区域，因为图中32arg,3argzz解解在圆环内的点不是内点.oy23xoxy3223例函数将平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线？zw1zw.2)2(,9)1(22xyx解9222zyx因为又iyxzw11于是iyxivuw9191yvxu91,9191)(8112222yxvu表示平面上的圆.w22yxiyx),(91iyx(1).2)2(x解iyiyxz2因为iyzw211所以224,42yyvyu22222)4(4yyvu因为0222uvu所以表示平面上以为圆心，为半径的圆.w0,4141ivuyiy242,2412uy1614122vu000Im()Im()limzzzzzz例（）（Ａ）等于i（Ｂ）等于i（Ｃ）等于（Ｄ）不存在0解0000Im()Im()limlimzzzzzzyzzxyi当沿，时，有ykx0x0000Im()Im()limlim1zzzzzzykzzxyiki与有关，极限不存在.kD第二章：解析函数复变函数的导数与微分解析函数的概念如果在点及的邻域内处处可导，称在点解析。如果在区域D内每一点解析，称在D内解析，或称是D内的解析函数（全纯函数或正则函数）。如果在不解析，称为的奇点。()fz0z0z0z()fz()fz()fz()fz0z0z()fz两个解析函数的和、差、积、商（除去分母为0的点）都是解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数。复变函数连续、可导、解析之间的关系在解析在可导在连续在区域D内解析在区域D内可导()fz0z()fz0z()fz0z()fz()fz函数可导与解析的充要条件定理1设函数定义在区域D内，则在D内点可导与在点可微，且满足柯西-黎曼方程函数在点处的导数公式：()(,)(,)fzuxyivxy()fz000zxiy(,)uxy(,)vxy00(,)xy00000000(,)(,),(,)(,)xyyxuxyvxyuxyvxy()(,)(,)fzuxyivxyzxiy()uvuuvvvufziiiixxxyyxyy定理2设函数在区域D内有定义，则在D内解析与在D内可微，且满足柯西-黎曼方程复变函数可导与解析的判别方法（1）利用可导与解析的定义及运算法则（2）利用可导与解析的充要条件()(,)(,)fzuxyivxy()fz(,)uxy(,)vxy,xyyxuvuv初等函数1、指数函数性质：（1），（2）对任意的，有加法定理（3）是以为周期的周期函数（4）在复平面上处处解析，且1212zzzzeeezxee2(0,1,2,)zArgeykk12,zzze2i2zizeeze()zzee(cossin)zxyixeeeyiy2、对数函数主值分支对数函数的每个分支在除去原点和负实轴的复平面内处处解析，且ln(arg2)(0,1,2,)wLnzzizkklnlnargzziz1()Lnzz3、幂函数为复数当为正整数及分数时，就是的次乘幂及次根，此时幂函数分别为单值函数和值函数。一般来说，幂函数是一个多值函数。当定义中对数函数取主值时，相应的幂函数也称其主值，幂函数的各个分支在除去原点及负实轴的复平面内也是解析的，且(0)aaLnzzezaan1nazznnaznaz1()aazaz例函数在何处可导，何处解析.)2()()(222yxyixyxzf解,),(22xyxyxu;2,12yuxuyx,2),(2yxyyxv;22,2yxvyvyx.,xyyxvuvu故仅在直线上可导.)(zf21y,21)(,不解析上处处在直线由解析函数的定义知yzf故在复平面上处处不解析.)(zf时，当且仅当21y例设为解析函数，求的值.)(2323cxyxiybxaycba,,解设ivucxyxiybxayzf)()()(2323故2323,cxyxvybxayu,2bxyxu,2cxyyv,322cyxxv,322bxayyu由于解析，所以)(zfxvyuyvxu,即,22cbcxybxy3,3332222bcacyxbxay故.3,3,1cba例求下列各式的值解LnLnLn(1)(23);(2)(33);(3)(3).ii)32((1)Lni)32(Arg32lniii.223arctan13ln21ki),2,1,0(k.6232lnki),2,1,0(k)3(Ln)3()3(Arg3lni.)12(3lnik),2,1,0(k)33(Ln)2(i)33(Arg33lniiiki233arctan32ln例.12的值和求ii解Ln1221e22ike)22sin()22cos(kik.,2,1,0k其中iiieiLnikiie22ke22.,2,1,0k其中答案课堂练习.3)(5计算),2,1,0(].)12(5sin)12(5[cos3)3(55kkik例.)(1的辐角的主值求ii解)Ln(1)1(iiieiikiie242ln21.,2,1,0k其中)]1(Arg1ln[iiiie2ln2124ike2ln21sin2ln21cos24iek(1ln2.1)2ii故的辐角的主值为第三章：复变函数的积分复积分的定义复积分存在的条件设函数在区域Ｄ内连续，曲线Ｃ光滑，则复积分存在，且01()lim()nkkckfzdzfz()(,)(,)fzuxyivxy()cccfzdzudxvdyivdxudy复积分的性质１、２、３、４、曲线Ｃ的长度为Ｌ，函数在Ｃ上满足()()ccfzdzfzdsML()()ccfzdzfzdz()()cckfzdzkfzdz[()()]()()cccfzgzdzfzdzgzdz()fzM复积分计算的一般方法设沿曲线Ｃ连续，曲线Ｃ的参数方程为，其中起点为，终点为，则特别的，有()fz()()zztt()z()z()[()]()cfzdzfztztdt211()01nzaindzzan复积分的基本定理１、柯西－古萨定理如果函数在单连通区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ内任一条封闭曲线，则()0cfzdz()fz２、复合闭路定理设Ｃ为多连通区域Ｄ内的一条简单闭曲线，为Ｃ内的简单闭曲线，它们互不包含又互不相交，并且以为边界的区域全部属于Ｄ，如果在Ｄ内解析，则其中与均取正向其中是由与组成的复合闭路12,,nccc12,,,ncccc()fz11.()()2.()0knkccfzdzfzdzfzdzckcckc３、牛顿－莱不尼茨公式设函数在单连通区域Ｄ内解析，为的一个原函数，则４、柯西积分公式设函数在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属于Ｄ，为Ｃ内任一点，则()fz()Gz()fz2121()()()zzfzdzGzGz()fz0z001()()2cfzfzdzizz５、解析函数的高阶导数公式解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为其中为函数的解析区域Ｄ内围绕的任意一条简单闭曲线，而且它的内部全含于Ｄ。６、解析函数与调和函数的关系１）如果二元实函数在区域Ｄ内具有二阶连续偏导数，且满足Laplace方程称为区域Ｄ内的调和函数。()fzn()010!()()(1,2,)2()nncnfzfzdznizzc0z()fz(,)xy(,)xy22220xy２）区域Ｄ内的解析函数的实部和虚部都是调和函数。而且虚部是实部的共轭调和函数。（这里与的位置不能颠倒）３）由调和函数（或）确定另一个调和函数或解析函数的方法：＊偏微分法：从柯西－黎曼方程出发，解简单的一阶微分方程。＊不定积分法：从出发，将其写成的函数，利用积分求出。()fzuivuvvuuv(,)uxy(,)vxy()fzuiv()uufzixyz()fz32:Czi沿指定路径计算以下积分例CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解由复合闭路定理有则及为半径作圆以为圆心及以分别及内有两个奇点在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzzCCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222解法一利用柯西-古萨基本定理及重要公式izizzzz1211211)1(12由柯西-古萨基本定理有,0d1211zizC,0d1211zizC,0d12zzC,0d1212zizCyxOiiC2C1C21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii2212.i解法二利用柯西积分公式,11)(121内解析在Czzf,)(1)(22内解析在CizzzfCCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(122221d)]([1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi2122ii.i由复合闭路定理有则及为半径作圆以为圆心及以分别及内有两个奇点在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzezCCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121内解析在Czezfz,