函数的最大(小)值与导数92627

1.3.31．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值概念.2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件.(重点)3．掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤.(难点)f(x)0yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧f(x)0f(x)0f(x)0x2xXx2x2Xx2f(x)f(x)xXx1x1Xx1f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0f(x)=0增减极小值f(x)0注意:(1)f(x0)=0，x0不一定是极值点(2)只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点.(3)求极值点，可以先求f(x0)=0的点，再列表判断单调性.结论：极值点处，f(x)=01、导数与极值的关系复习回顾2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况若f’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值；若f’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值；若f’(x０)左右同号，则f(x０)无极值。+-x0-+x0求导—求极点—列表—求极值【变式训练】已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时，都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．【课前训练】12491(2)=(-)==f23272.()()ffxfx极大极小答：（1）a=-,b=-2.；（1）=-在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新课引入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。知识回顾一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：1．最大值:（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值2．最小值:（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：3.求函数最值的一般方法?一是利用函数性质二是利用不等式三是利用导数探究问题1：开区间上的最值问题oxyaby=f(x)y=f(x)oxyaboxyaby=f(x)oxyaby=f(x)结论：在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在[a,b]上的最值？结论：一般地，如果在区间，[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。探究问题2：闭区间上的最值问题思考：（1）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）有最值，在什么位置取最值？答：在极值位置处。（2）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点是否是最值点？答：是。找出f(x)在区间[a,b]的内最值单调函数的最大值和最小值容易被找到。找出f(x)在区间[a,b]的内最值最大值是f(x3),函数y=f(x)在区间[a,b]上最小值是f(x4).观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？xX2oaX3bx1yy=f(x)把函数y=f(x)的所有极值及端点的函数值进行比较例1．（课本例5）求31443fxxx=在0,3的最大值与最小值奎屯王新敞新疆【点评】(1)用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意极值点是否在区间内．(2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用导数的方法求解．解:24yx=当变化时,的变化情况如下表:,yy例1、求函数在区间上的最大值与最小值。31443yxx=[0,3]令,解得0y=22或xx==x又由于(0)4,(3)1ff==（舍去）2－＋0(0,2)(2,3)x()fx()fx03↗↘43极小值41函数在区间上最大值为,最小值为43[0,3]4例2求函数y＝x4－2x2＋5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:344yxx=令,解得x=-1，0，1.0y=当x变化时,的变化情况如下表:,yy从上表可知，最大值是13，最小值是4.1345↗4↘130－0＋0－2(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2yxy＋↘↗求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.注意1)函数的最值概念是全局性的2)函数的最大值（最小值）唯一3)函数的最大值大于等于最小值4)函数的最值可在端点处取得堂上练习求下列函数在给定区间上的最大值与最小值.2,1,34;1,31,1263;3,3,272;2,1,2613332====xxxxfxxxxfxxxxfxxxxf　　　　　　　　　1．下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能DA堂上练习,213141.3234上最小值为1,1-在函数xxxy=1213D.1.2.0.CBAA4.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________.-151.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.一是利用函数性质二是利用不等式三是利用导数2.求函数最值的一般方法：3.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)，f(b)放在一起比较.课后作业1.阅读选修2-2教材P29-31;2.P31-32习题1.3A组63.《课时提能演练》七.1.3.31.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.一是利用函数性质二是利用不等式三是利用导数2.求函数最值的一般方法：复习回顾3.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)，f(b)放在一起比较.例3.含参数的函数最值问题•[解]显然a≠0.•f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．•令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．•(1)当a0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)＋0－f(x)最大值•所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.•又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)f(2)．•所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.•(2)当a0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)－0＋f(x)最小值•所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以b＝－29.•又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)f(－1)．•所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，a＝－2.•综上所述a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.•[点拨]本题运用了求极值、最值的方法，采用了待定系数法确定a，b的值，体现了方程的思想和分类讨论的思想．变式1：已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a;(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。令0,解得x-1或x3)(xf解:(1)=-3x2+6x+9)(xf函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞)oxy-123axxxxf=93)(23(2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+af(2)=-8+12+18+a=22+a∴f(2)f(-2)于是有22+a=20,解得a=-2∴f(x)=-x3+3x2+9x-2∴f(x)在[-1,2]上单调递增∴在(-1,3)上0,)(xf又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减，即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。∴f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。∴f(-1)=1+3-9-2=-7,变式2：已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．[分析]由题目可获取以下主要信息：①函数f(x)＝x2(x－a)中含有参数a；②在a确定的情况下，求切线方程；③在a不确定的情况下求函数在区间[0,2]上的最大值．解答本题可先对函数求导，然后根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当02a32，即0a3时，f(x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2上单调递增．从而f(x)max＝8－4a(0a≤2)0(2a3)，导数与不等式恒成立的解题方法利用导数证明不等式恒成立，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式部分或全部投射到函数上，直接或等价变形后，结合不等式的结构特征构造相应的函数，通过导数运算判断出函数的单调性，然后求出函数在给定区间上的最值，问【点评】题得解.与最值有关的不等式的恒成立问题例4.解：（I）∵（），∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)