第六章 近独立粒子的最概然分布 - 副本

中北大学物理系第六章近独立粒子的最概然分布§6.1粒子运动状态的经典描述§6.2粒子运动状态的量子描述§6.3系统微观运动状态的描述§6.4等概率原理§6.5分布和微观状态§6.6玻耳兹曼分布§6.7玻色分布和费米分布§6.8三种分布的关系中北大学物理系§6.1粒子运动状态的经典描述是由大量微观粒子构成的，并且这些微观粒子不停地进行着无规则的运动。宏观物体粒子之前的相关知识点？研究方法：1、热力学方法2、统计物理学方法统计物理是研究热运动的微观理论。它认为宏观物理系统是由大量微观粒子组成的，物质的宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观量的统计平均值。微观量微观状态对应我们先看看如何描述粒子的运动状态！！中北大学物理系一、经典描述根据它遵从的是经典的还是量子的力学运动规律，分为经典描述和量子描述，那么对给定的系统究竟是采用经典的还是量子的描述，其判断的方法就是利用测不准关系ΔqΔp≈h。设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标q1、q2、…qr和相应的r个广义动量p1、p2、…pr在该时刻的数值确定，粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数即ε=ε（q1、q2、…qr，p1、p2、…pr）更一般ε=ε（qi、pi、λi）（i=1、2、…r）λ为非参量运动状态是指粒子的力学运动状态．注：原则上说微观粒子是遵从量子力学的运动规律的．经典理论在一定的极限条件下仍具有意义．如果存在外场，ε还是描述外场参量的函数．中北大学物理系在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成H函数，即ε=H（qi、pi）（i=1、2、…r）运动方程为（i=1、2、…r）iiiipHppHq&&当某一初使时刻t0给定了qi、pi的初值qi0、pi0之后，由正则运动方程可确定在任何相继时刻t，qi、pi的数值，因而这个力学系统的运动状态就完全确定了。所以一组qi、pi数值确定这个系统的一个运动状态，这样所确定的运动状态把每个粒子的运动状态都完全确定了.这就是微观运动状态。而使用粒子的坐标和动量的方法叫做微观描述法，也可以借助几何表示法讨论力学体系运动状态，用q1、q2、…qr；p1、p2、…pr为直角坐标构成一个2r维空间，这个空间称为相空间（即μ空间）。中北大学物理系相空间任何一点代表力学体系一个运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨迹称为相迹。也称为相轨道。二、具体事例自由度动量能量相空间我们来找出下面的量！坐标（一）自由粒子１一维空间中运动不受力的作用而作自由运动的粒子．当不存在外场时，理想气体的分子或金属的自由电子都可看作自由粒子．自由度r=1确定粒子在任一时刻的位置的坐标x动量xmp能量mp22相空间2r维2维中北大学物理系２三维空间中运动自由度r=3坐标x,y,z动量xmpxympyzmpz能量22221zyxpppm相空间2r维６维（二）线性谐振子质量为m的粒子在弹性力f=-Ax作用下，将在原点附近作简谐振动，称为线性谐振子．振动的圆频率为=(A/m)1/2.取决于弹性力系数A和粒子的质量m．在一定条件下，分子内原子的振动，晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可看作简谐振动．自由度r=1坐标x共轭动量xmp2222221222xmmpxAmp能量相空间2维是其动能和势能之和2r维位移中北大学物理系以x和p为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时刻运动状态由μ空间中的一点表示。如果给定振子的能量ε，对应点的轨迹就由如下方程确定：122222mxmp即为椭圆方程qpn=0n=1n=2n=3椭圆的两个半轴a和b，椭圆的面积等于ab=２／．对于遵从经典力学规律的谐振子，振子的能量原则上可取任何正值．能量不同，椭圆就不同．中北大学物理系§6.2粒子运动状态的量子描述一、量子描述20世纪当不少物理学家为光的波粒二象性感到困惑时，德国物理学家德布罗意于1924年提出一个假说：一切微观粒子都具有波粒二象性．把标志波动性质的量：圆频率ω和波矢k通过一个普适常数h用标志粒子性质的量：能量ε和动量p联系起来。ε=ħωp=ħk德布罗意关系能量为ε和动量为p的自由粒子联系着圆频率为ω和波矢为k的平面波，称为德布罗意波．适用于一切微观粒子.中北大学物理系普朗克常数是物理中的基本常数，它的量纲是ħ=h/2πh＝6.62610-34JSħ=1.05510-34JS[时间]·[能量]=[长度]·[动量]=[角动量]普朗克常数:这样一个物理量通常成为作用量，因而普朗克常数也称为基本的作用量子。这个作用量子成为判别采用经典描述或量子描述的判据。当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与普朗克常数相比拟的数值时，这个物质系统就是量子系统。如果物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数来量度都非常大时，这个系统就可以用经典力学来研究.在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。中北大学物理系量子态由一组量子数表征．量子数的数目＝粒子的自由度数微观粒子的运动不是轨道运动，这一点我们可以作如下解释：继德布罗意之后，1927年，海森堡在研究粒子和波动的二象性时，得到一个重要的结果：微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。即用Δq表示粒子坐标的不确定值和Δp表示粒子动量不确定值，在量子力学所容许的最精确的描述，Δq与Δp的乘积满足ΔqΔp≈h测不准关系说明：量子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量，因此这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，是微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。中北大学物理系在经典力学的理论中，粒子可以同时具有确定的坐标和动量，这并不是在实际上我们可以任意的精确度做到这一点，而是说在经典的理论中，原则上不允许对这种精确度有任何限制．特别地在经典范围内，波动量很小，以致于探测不到。因此认为物质有确定的坐标和动量，这并不与测不准关系发生矛盾。Δp≈h／Δq测不准关系也可表示为Δq≈h／Δp也称为不确定关系．表明：如果粒子的坐标具有完全确定的数值，即q０，则粒子的动量将完全不确定p．如果粒子的动量具有完全确定的数值，即p０，则粒子的坐标将完全不确定q．中北大学物理系二、具体事例（一）自旋状态考虑一个粒子，质量为m，电荷为-e，具有自旋角动量1/2．粒子的自旋磁矩与自旋角量子数Ｓ之比为meS如果加上沿Z方向的外磁场，磁感应强度为B，则粒子自旋角动量在外磁场方向的投影SZ有两个可能值，即SZ=ħ/2。自旋磁矩在外磁场方向的投影相应为Z=eħ/2m。粒子在外磁场中的势能为BmeB2将SZ表示为SZ=mSħ，描述粒子的自旋状态只要一个量子数mS，只能取两个分立的值1/2。中北大学物理系（二）线性谐振子振动的圆频率为的线性谐振子．能量的可能值为)21(nnn=0,1,2线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为ħ，其大小取决于振子的圆频率。其中n:表征线性谐振子的运动状态和能量的量子数。上式给出的能量值是分立的。分立的能量称为能级。中北大学物理系空间中一个自由运动的粒子，假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动。在量子力学中粒子的运动满足薛定谔方程：rErm222kzjyixr其中上式可变成为：rmPrm22222解为：rpicrexpLxyz0AA'（三）自由粒子根据周期性边界条件，在点A（l/2，y，z）和A‘（-l/2，y，z）ψ（r）应相同。即：zpypLpiczpyppLiczyxzyx21exp2exp中北大学物理系∴1expLpix同理可得：yynLp2zznLp2和nx,ny,nz:表征三维自由粒子运动状态的量子数。其中以上的式子表示，动量只能取分立的值。能量：2222222Lnmmpxxnx总能量：2222222zyxnnnmL能量是分立的量子态由量子数nx，ny，nz来描述，对于一确定的能量ε，nx，ny，nz可取不同的值，因此，对于一确定的能量来说，系统有许多量子态。xxnLp2n=0,1,2中北大学物理系经典粒子的动量和能量是连续的，而在量子情形中，动量和能量是分立的，这是局域在有理空间范围的量子粒子的特性.如果某一能级的量子态不止一个,该能级称为简并的,能级的量子态数成为该能级的简并度.如果某能级只有一个量子态,该能级称为非简并的.如:能量2222222zyxnnnmL能量取决于三个量子数的平方和,因此处在一个能级的量子状态一般不止一个.三个量子数的平方和=1时,量子态有6个.nx=0ny=0nz=1nx=0ny=1nz=0nx=1ny=0nz=0中北大学物理系一维的情况：根据周期性边界条件，粒子可能的运动状态，德布罗意波长的整数倍等于容器的长度Ｌ．周期性边界条件：波矢量：动量：能量：相邻两个能级的间距：122221xnnnmLLxx显然，若L∞时，Δε0，即能量此时是连续的。xxnLk22nx=0,1,2xnL|nX|=0,1,2xxnLkp2nx=0,1,222222xnmLnx=0,1,2中北大学物理系三维的情况：xnL周期性边界条件：波矢量：xxnLk2动量：xxnLp2能量：ynLynLyynLk2zznLk2yynLp2zznLp22222222zyxnnnmL22222xxnmL22222yynmL22222zznmL总能量：中北大学物理系三、粒子的状态与相空间体积元的对应关系在统计物理学所讨论的某些问题中，普朗克常数与有关的物理量相比是一个较小的量，这时，可以利用半经典近似认为粒子是沿着满足量子化条件的那些轨道做轨道运动的。这些量子化轨道与量子描述中的量子状态相对应。由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所以量子态不能用相空间的一点来描述，而应用一个体积元，称为相格,相格的大小为h.自由度为r的粒子，相格大小为：rrrhppqq11如果将空间划分为若干个体积元Δωl（l=1，2…），则在体积元Δωl中粒子可能的状态数为Δωl/hr。中北大学物理系空间中一个自由运动的粒子，假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动。例如：上式可理解为：三维自由粒子的一个状态对应于空间中体积为h３的一个体积元.容器的体积V=L3．其内的动量，能量都是连续的．体积Ｖ内，动量范围内的三维自由粒子的量子态数为xxnLp2xxdnLdp2xxdpLdn2同理yydpLdn2zzdpLdn23222hdpdpVdpdpLdpLdpLdndndnzyxzyxzyx在空间的体积为Ｖdpxdpydpz内，自由粒子可能的状态数．中北大学物理系常用动量空间中的球极坐标p,θ,来描写自由粒子的动量p，θ，与px、py、pz的关系为：cossinppxsinsinppycosppzpxpypz用球极坐标，动量空间的体积元为：dppddpdsinddpdpsin2在体积V内，动量在p到p+dp，θ到θ+dθ，φ到φ+dφ，自由粒子可能的状态数为：32sinhddpdVp中北大学物理系如果对θ和进行积分，θ由０到，由０到２．ddsin020do)(cos204220d在体积V内，动量绝对值在p到p+dp的范围内，自由粒子可能的状态数为：3230202