量子力学复习提纲

1.粒子的双缝实验的结论是什么？答：粒子具有波动性2.在量子力学中，波函数的波动方程是什么？它是定态薛定谔方程吗？答：量子力学中波函数的波动方程是),()](2[),(22trrVmtrti，它不是定态薛定谔方程，定态薛定谔方程是假设势能V不显含时间t，其形式是：)()](2[)(22rrVmrE3.波函数除了归一化要求之外的三个标准条件是什么？答：单值、连续、有限。4.写出一维无限深方势阱的能量本征函数及能量本征值。答：5.写出一维线性谐振子的能量本征函数及能量本征值。答：6.什么叫做粒子的共振穿透？请举例说明。答：当粒子射入势阱时，将发生反射和折射，当粒子的能量满足一定的条件时会使透222220,0(),ˆ,()()2()sin(),1,2,3,,1,2,3ˆ(2,2ˆ)nnnnnxxaUxxothersHxExnxxnaanEnPUxaH222222221()2ˆ,()()()(),0,1,2,ˆ11(),0,1,2,2ˆ22nnnxnnnnxUxxHxExxPHxNHxenEnn射系数T=1，这种现象就叫做共振穿透。如上图所示，粒子在有限深势阱中，我们设222221)(2,2oVEkEk则透射系数lkkkkkkkT222222122212221sin)(44当nLk2即022)(2VLnEn时，1T，产生共振穿透。7.什么叫做粒子的遂穿效应？请举例说明。答：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。金属电子冷发射和ɑ衰变等现象等都是隧道效应产生的，还有基于两字隧道效应的扫描隧道显微镜。8.粒子的共振穿透与粒子的遂穿效应有何区别？答：共振穿透的物理意义是，入射粒子进入势阱后，碰到两侧阱壁时将发生反射和透射，如粒子能量合适，使它在阱内波长'满足an2'（a为阱的宽度），则经过各次反射而透射出去的波的相位相同，因而彼此相干叠加，使透射波波幅大增，从而出现共振透射。而遂穿效应其实是粒子具有波动性的表现。9.什么叫做厄米算符？它有什么性质？答：如果算符F满足ˆˆ()FdvFdv，则称算符F为厄米算符。厄米算符有三点性质，一是体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数；二是厄米算符的本征值必为实数；三是厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。10.量子力学中两个基本力学量是什么？在坐标表象中，用什么算符表示？答：量子力学中两个基本力学量是坐标r和动量p，在坐标表象中，坐标r用坐标算符r表示，动量用动量算符2p表示。11.动量算符的本征函数和本征值是什么？其本征函数如何归一？答：动量算符的本征函数是：)exp()2(1)(23rpirp，其本征值为p。其只能归以为函数函数，即)()()('*'ppdrrpp。12.在三维直角坐标系中，角动量算符的表示式是什么？动量（矢量）算符的本征函数和本征值是什么？答：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxzyyxzzyxLypzpiyzzyLzpxpizxxzLxpypixyyxhhh动量算符的本征函数和本征值如上。13.在球坐标系中，角动量平方算符的表示式又是什么？它的本征函数和本征值是什么？其中什么是轨道角动量量子数（角量子数）？取值范围是哪些数值？答：22222222222222222222ˆˆˆˆ,11sinsinsinˆ11ˆsinsinsinxyzLLLLctgctgDDhhh22ˆ(,)(1)(,)ˆ(,)(,)lmlmzlmlmLYllYLYmYhhl表征轨道角动量的大小，称为轨道角动量角量子数，l＝０，１，２，……m则称为轨道角动量的磁量子数，对应于一个l的值，m可取(2l+1)个值，m=l,l-1,l-2,…,1,0,-1,-2,…,-l14.在球坐标系中，角动量在极轴上的投影算符如何表达？其本征函数和本征值是什么？其中什么是轨道角动量磁量子数（磁量子数）？取值范围是哪些数值？答：答案如上15.量子力学中关于波函数与力学量的两个假设，告诉你什么结论，试用你自己的语言归纳出5条结论。答：量子力学基本假设Ⅰ描写物理系统的态函数的总体，构成一个希尔伯特空间。系统的每一个动力学变量，由对这些态函数施加作用的一个厄米算符描写。量子力学基本假设Ⅱ当系统处于状态时，对与算符ˆF对应的动力学变量进行足够多次的测量，得到的测量结果的算术平均值ˆF为：33ˆˆFdrFdr若已经归一化，则有：3ˆˆFFdr结论：1、对于一个微观体系其状态可以用波函数表示，的绝对值的平方描述了粒子的几率密度。2、当体系的势能表达式中不显含时间时，可用定态薛定谔方程描述其状态。3、体系的波函数要具备连续、单值、有限的特性。4、量子力学中表征力学量的算符都是厄米算符，其本征值都是实数。5、体系的波函数是两两正交，自归一算符本征函数。16.什么是对易算符？他们的本征函数有什么性质？什么是非对易算符？非对易算符能有共同的本征函数吗？答：若两算符A和B满足(A，B)=0，则称算符A和B为对易算符，如果两个算符A和B为对易算符，则说明两个算符有共同的完备的本征函数组，在他们共同的本征函数描述的状态下，测量这两个算符对应的力学量，可以同时得到对应的本征值。若两算符A和B不满足(A，B)=0，则其不是对易算符，没有共同的本征函数。如果两个力学量A和B的对易子不等于零，则说明两个算符没有共同的完备的本征函数组即不存在共同的本征态，使测量的两个力学量同时有确定值。也就是说，我们不能同时准确得到他们对应的本征值。17.归纳学习过的对易算符和非对易算符。答ˆˆˆˆˆˆ,,,,,xyzxpiypizpihhhˆˆˆˆˆˆ,0,,0,,0ˆˆˆˆˆˆ,0,,0,,0ˆˆˆˆˆˆ,0,,0,,0,xyyzxzxyzxyyzxzppppppypzpxpLL222ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,0,,0,,0xyzyzxzxyxyzLLiLLLiLLLiLLLiLLLLLLLhhhrrrh18.什么叫做力学量的完全集合？答：要完全确定体系所处的状态（消除简并），需要有一组相互对易的力学量（即通过它们的本征值来完全确定体系所处的状态）。这一组完全确定体系状态的力学量成为力学量的完．．．．．全集合．．．。在完全集合中，力学量的数目一般与体系的自由度的数目相等。19.用什么方式表示非对易算符在某一个状态下的不确定性？答：非对易算符力学量在同一个态中的不确定程度可以用下列方式表示：偏差：ˆˆˆˆˆˆ,FFFGGG，方差：2222ˆˆˆˆˆ(),()FFFGGG，均方偏差：2222ˆˆˆˆˆ(),()FFFGGG均方根偏差（标准差）：22ˆˆˆˆ,FFFGGG20.坐标和动量的测不准原理是什么？答：坐标和动量没有共同的本征函数，故不能同时被准确确定。由海森堡不确定关系：22222ˆˆˆ,,ˆˆˆˆˆˆ,ˆˆˆ,,ˆˆˆˆ,1ˆˆˆ4FGiFFFGGGFGiFFFGGGFG对于一维坐标和动量算符：Assignment1forQuantumMechanics1.什么理论支持光的波动性？什么实验又体现了光的粒子性？光的粒子性表现在光子的能量和动量表达式中，请写出他们。答：光的干涉和衍射理论都支持光的波动性；光电效应实验体现了光的粒子性；光子的能量和动量表达式为：knhpwhE,。2.什么实验表明了电子的波动性？什么实验说明微观粒子的波是几率幅波？答：电子双缝干涉实验表明了电子的波动性；氢原子核外电子的电子云实验说明了微观粒子的波是几率幅波。3.对于相干的光波，什么物理量是可以叠加的？对于非相干的光波，什么物理量是不可以叠加的？什么物理量是可以叠加的？答：对于相干的光波，其波函数是可以叠加的；对于非相干的光波，其波函数是不可以叠加的，其光强是可以叠加的。4.对于不相干的宏观粒子，几率可以相加吗？对于微观粒子，几率可以相加吗？几率幅可以相加吗？答：对于不相干的宏观粒子，几率可以叠加；对于不相干的微观粒子，几率可以叠加，几率幅不可以叠加。5.什么叫做波函数的强度？答：波函数振幅绝对值的平方。6.什么叫做几率密度？用什么表示？答：在时刻t，在（x，y，z）点附近单位体积内找到粒子的几率，用归一化后的波函数的平方表示，即2|),,,(|tzyx。7.什么叫做波函数归一化？答：设在空间点（x，y，z）处单位体积找到粒子的几率为几率密度，用),,,(tzyxw表示，则2|),,,(|),,,(),,,(tzyxCdtzyxdWtzyxw，其中),,,(tzyx是描写离子状态的波函数，则对上式在全空间积分，得到粒子在全空间出现的几率，这个几率等于1，所以有1|),,,(|2dtzyxC，若存在波函数),,,(),,,(tzyxCtzyx，则这两个波函数所描述的是同一个状态。若1|),,,(|2dtzyx，则称),,,(tzyx为归一化波函数，上式称为归一化条件把),,,(tzyx换为),,,(tzyx的步骤称为归一化，常数C称为归一化常数。8.写出自由粒子波函数。答：)(),(tErpipoooeAtr9.希尔伯特空间的基矢有和性质？在希尔伯特空间中，写出任意矢量的表达式。答：NnnnC1，希尔伯特空间的基矢是正交归一的。10.什么是平方可积函数？什么是束缚态？其波函数有何特点？答：波函数的平方在全空间的积分是有限值，即全空间drr2|)(|，无限远处为零的波函数多描述的状态称为束缚态，其特点是当0)(,rr。11.“量子力学只能告诉我们粒子处于某一状态的几率（或几率幅）是多少，而不能告诉我们粒子何时处在这个状态上”，这句话对吗？答：对。12.计算0K附近的能量约为3电子伏的钠的价电子的德布罗意波长。