量子力学导论答案完整版(上)

1第一章量子力学的诞生1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，axaxxxV0,0,0,)(试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有),3,2,1(2nnana/2（1）又据deBroglie关系/hp（2）而能量,3,2,12422/2/2222222222nmanamnhmmpE（3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为cba,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为zyx,,轴方向，把粒子沿zyx,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有,3,2,1,xxxnhndxp即hnapxx2（a2：一来一回为一个周期）ahnpxx2/,同理可得，bhnpyy2/,chnpzz2/,,3,2,1,,zyxnnn粒子能量222222222222)(21cnbnanmpppmEzyxzyxnnnzyx,3,2,1,,zyxnnn1.3设质量为m的粒子在谐振子势2221)(xmxV中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。提示：利用)]([2,,2,1,xVEmpnnhxdp)(xV解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为ax（1）其中a由下式决定：221()2xaEVxma。a0ax2由此得2/2mEa，（2）ax即为粒子运动的转折点。有量子化条件222222122()2222aaaapdxmEmxdxmaxdxmamanh得mnmnha22（3）代入（2），解出,3,2,1,nnEn（4）积分公式：cauauauduuaarcsin22222221.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示：利用,,2,1,20nnhdpp是平面转子的角动量。转子的能量IpE2/2。解：平面转子的转角（角位移）记为。它的角动量.Ip（广义动量），p是运动惯量。按量子化条件,3,2,1,220mmhpdxpmhp，因而平面转子的能量ImIpEm2/2/222，,3,2,1m3第二章波函数与Schrödinger方程2.1设质量为m的粒子在势场)(rV中运动。（a）证明粒子的能量平均值为rdE3，Vm**22（能量密度）（b）证明能量守恒公式0stw**22ttms（能流密度）证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化）VTrdVmE322*2（1）VrdV*3（势能平均值）（2）**3222*32)(2动能平均值rdmmrdT其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此*322rdmT（3）结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2Vm（4）且能量平均值rdE3。（b）由（4）式，得...2**.....2*22**..2222*2222VVtmttttVVmttttttsVVtmtmsE..*tt4tEs（：几率密度）s（定态波函数，几率密度不随时间改变）所以0stw。2.2考虑单粒子的Schrödinger方程trriVrVtrmtrti,,2,2122（1）1V与2V为实函数。（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为*32***322rdVSdimrddtdS证：（a）式（1）取复共轭，得*21*22*2iVVmti（2）*（1）-（2）,得*2**22**22*2*2222iVmVimti*2***22Vimt（3）即022Vjt，此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积积分，得*23***233***32222rVdSdimrVdrdimrdtS上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（Sdj），而第二项代表体积中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。52.3设1和2是Schrödinger方程的两个解，证明0,,2*13trtrrddtd。证：12212Vmti（1）22222Vmti（2）取（1）之复共轭：*122*12Vmti（3）2（3）*1（2）,得22*1*12222*12mti对全空间积分：22*1*122322*132,,rdmtrtrrddtdi2*1*122*1*12322rdm2*1*12322rdm022*1*122Sdm，（无穷远边界面上，0,21）即0,,.2*13trtrrddtd。2.4）设一维自由粒子的初态/00,xipex，求tx,。解：/2200,tmpxpietx2.5设一维自由粒子的初态xx0,，求2,tx。提示：利用积分公式2sincos22dd6或4expexp2idi。解：作Fourier变换：dpepxipx210,，21)(210,21dxexdxexpipxipx，dpeptxEtpxi/21,（mpE22）dpepxtmpi2221（指数配方）dptmxpmitetimx222exp212令222tmxpmt，则42exp2221221,24/22222tmxitmeetmdetmetxitimxitimxtmtx2,2。2.6设一维自由粒子的初态为0,x，证明在足够长时间后，tmxtimxitmtx2exp4exp,2式中dxexkikx0,21是0,x的Fourier变换。提示：利用xeexii24/lim。证：根据平面波的时间变化规律tkxiikxee，mkE22，7任意时刻的波函数为dkektxmtkkxi2/221,22/2exp212tmxkmtikdketimx（1）当时间足够长后（所谓t），上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取mt2，tmxku，（2）参照本题的解题提示，即得kdtmxkketmetxitimx4/2221,2tmxeetmtimxi2/4/2（3）22,tmxtmtx（4）物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为tmxk，即mktx，强度2k，因子tm描述整个波包的扩散，波包强度t12。设整个波包中最强的动量成分为0k，即0kk时2k最大，由（4）式可见，当t足够大以后，2的最大值出现在0ktmx处，即mtkx0处，这表明波包中心处波群的主要成分为0k。2.7写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。解：经典能量方程rVmpE22。在动量表象中，只要作变换pp，dpdir所以在动量表象中，Schrödinger为：pEpdpdiVmp22。8第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，其余区域,0,0,0),(byaxyxV求粒子的能量本征值和本征波函数。如ba，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mEyxnn222)(2222bnanyx,2,1,,sinsin2yxyxnnnnbynaxnabyx若ba，则)(222222yxnnnnmaEyxaynaxnayxnnyxsinsin2这时，若yxnn，则能级不简并;若yxnn，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10yxnn与2,11''yxnn）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即其余区域,0,0,0,0),,(czbyaxzyxV求粒子的能量本征值和本征波函数。如cba，讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cnbnanmnnnEzyxzyx,,3,2,1,,,sinsinsin8zyxzyxnnncznbynaxnabcnnnzyx当cba时，)(2222222zyxnnnmannnEzyxaynaynaxnannnzyxzyxsinsinsin223zyxnnn时，能级不简并；zyxnnn,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。9zyxnnn,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。如)9,6,3()10,5,1(2086161210)11,3,1()9,7,1(10438652222222222223.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，ax0,,0,0),(xaxyxV证明处于定态)(xn的粒子)61(12)x-(x,22222naax讨论n的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数xanaxnsin2)(.2sin20220axdxanxadxxxaan分部（1）4)(2202222adxxxxxxna4)2cos1(212202ad