量子力学期末总结(郑以松)

量子体系=粒子+势场环境Hilbert空间物理：“平方可积”的函数的集合描述量子状态，随时间变化（基本原理）算符态矢之间的映射关系数学：定义了内积的线性空间ˆAHtiˆ)(t算符算符的本征态（特殊的映射）ˆˆAnnnnnnaaaAaaa力学量==厄米算符：：H空间的基矢nannncaCn和an的测量意义展开假定：基本原理ˆˆˆˆAAAA量子测量：态矢塌缩基本算符：（从本征方程定义）基本原理ˆˆˆXPSˆˆ[,]XPiˆnaA表象ncˆ[]AA表象变换-Dirac符号的运算量子状态（波函数）微观物理体系的量子状态（波函数）由薛定谔方程确定。Born的统计诠释波函数应满足自然条件（连续、单值、有限）归一化整体相位无物理意义2,trtretri,,和位置表象（特殊的表象）S-eq的求解：初态能量本征态一维定态问题：方位阱，位阱，线形谐振子。三维定态问题：球形位氢原子中心力场三维各向同性谐振子nnnC)0(ntiEnniHtneCet//)0()(nnnEHˆ中心力场：简并和完整力学数量组：不考虑自旋考虑自旋（总角动量）非耦合表象耦合表象zLLHˆ,ˆ,ˆ2nlmnlmznlmnlmnlmnnlmmLllLEHˆ1ˆˆ22SLJˆˆˆzzzJSLSLHˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ22slslslslslslslslslslslslmnlmslmnlmzmnlmsmnlmzmnlmlmnlmzmnlmmnlmmnlmmnlmmnlmnlmnlmmmJmSmLSllLEHˆˆˆ43ˆ1ˆˆ2222jjjjjjjjjjnljmslnljmznljmnljmnljmnljmnljmnljmnljmnlnljmmmJSllLjjJEHˆ43ˆ1ˆ1ˆˆ222222zJSLJHˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ222定态的近似方法：1、定态微扰理论（可作微扰处理）非简并情况：简并情况：2、变分法（选择适当的波函数，通过求得参数b的值，从而确定波函数）。WHHˆˆˆ0Wˆ)1()0(210,kkkkkkkEEEE)0()0()0()0()0()1()0()0()1()0()0()1(ˆ,,ˆknnkknnnknkkknnkknnkkkkkWWEEWEEWWEWE其中0321)1(3213)1(3332312231222111312)1(11nnnnnnnnnaaaaEb0ˆbbHb多自由度情况：空间的直积自由度1：N维，其基矢为自由度2：M维，其基矢为例：两个自旋1/2的粒子的自旋空间的基矢为全同性原理：全同粒子体系波函数不仅满足薛定谔方程，同时还应满足置换算符方程：其中为常数全同玻色子体系波函数满足置换对称性。全同费米子体系波函数满足置换反对称性。nkmL则直积空间基矢，N*M维mnLk,,,tqq,,,21tqqtqqjijiij,,,,,,,,Pˆ角动量定义：若有三个算符，且满足则称为角动量。zyxJJJˆ,ˆ,ˆJiJJˆˆ,ˆzzyyxxeJeJeJJˆˆˆˆˆˆˆlmmlmJlmlllmJzˆ)1(ˆ2力学量（算符）和量子状态期望值不确定关系例完整力学数量组（能够唯一确定波函数且两两对易的力学量集合）守恒量，则称为体系的一个守恒量。体系在任何状态下，守恒量的平均值以及取值几率不随时间改变。Virial定理（定态）Feynman-Hellmann定理（束缚定态）4ˆ,ˆ222BAiBAAAˆˆ4222px0ˆ0ˆ,ˆtAHA且AˆVrTˆˆ2nEHˆ海森堡、薛定谔图像（picture）薛定谔图像：力学量不随时间变化，波函数随时间变化，满足薛定谔方程海森堡图像：波函数不随时间变化力学量随时间变化，满足海森堡方程若，则薛定谔图像波函数与海森堡图像波函数之间关系：海森堡图像力学量与薛定谔图像力学量之间的关系：可见在不同的图像下，波函数和力学量的形式并不相同。即波函数和力学量没有直接的物理意义，有直接物理意义的是力学量平均值0ˆttFStHttiSSˆ,0ttHHtFtFtiHHˆ,ˆˆ0ˆtHHiHtSiHtSetet//0//ˆˆiHtSiHtHeFetF