九年级奥数：解直角三角形

第1页共5页九年级奥数：解直角三角形解读课标从直角三角形中的已知元素（至少有一条是边）探求其未知的一些元素的问题叫解直角三角形．解直角三角形的关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念，解直角三角形的应用主要有以下两方面：（1）求线段的长、角的度数许多几何计算问题都可归结为解直角三角形．（2）解决实际问题应用三角函数解决的实际问题主要涉及测量、建筑、工程技术和物理学中，解决问题的关键是在理解有关名词意义的基础上，把实际问题抽象为几何图形，转化为解直角三角形．问题解决例1如图，为了测得一铁塔的高度，小明在离铁塔10米处的点C测得塔顶A的仰角为，小亮在距铁塔25米处的点D测得塔顶A的仰角为，，则铁塔的高度为______．例2如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=1，CD=3，∠B=135°，∠C=90°，则∠D等于（）．A．60°B．67.5°C．75°D．不能确定例3如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D处，测得A的仰角为60°，求山的高度AB．例4在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0），B（6，0），C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．902第2页共5页（1）求圆形区域的面积；（2）某时刻海面上出现一渔船A，在观察点O测得A位于北偏东45°，同时在观察点B测得A位于北偏东30°．求观察点B到A船的距离；（3）当渔船A由（2）中位置向正西方向航行时，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答．例5如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，该建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD栅高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测角器．请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：（1）测量数据尽可能少；（2）在所给图形上。画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用、、等表示．测角器高度不计）．根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）．数学冲浪；知识技能广场1．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，∠A=30°，AC=，则BC=_________，DB=_________．2．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，BC=，则AB=_________．3．如图，已知△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，那么，△ABC的面积为_________．631310第3页共5页4．在高为h的楼顶A处测得另一建筑物底部D的俯角为，顶部B的俯角为，则另一建筑物的高度BD是_________．5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=．则AD的长为（）．A．B．2C．1D．6．如图，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠C=90°，BC=，AD=2，则四边形ABCD的面积是（）．：A．B．C．4D．67．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且cos=，AB=4，则AD的长为（）．A．3B．C．D．8．如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（）．A．B．C．D．9．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB高为1.5米．求拉线CE的长．（结果保留根号）10．如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里／时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以18海重／时的速度驶离港口．现两船同时出发，（1）出发后几小时两船与港口P的距离相等？（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向?（结果精确到0.1小时）（参考数据：，1522223424335163203165m)13(6m)13(6m)13(12m)13(1221.41第4页共5页）思想方法天地11．如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面上，如果CD与地面成45°，∠A=60°，CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为______．12．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF=____________．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0．77，tan40°≈0．84，结果精确到0.1m）13．如图，正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=___________．14．如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则∠1和∠2的大小关系是：∠1__________∠2(填“”或“一”或“”号)．15．如图，在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF，点E在CB的延长线上，EF交AB于点G（1）求证：DF·FC=BG·EC；（2）当tan∠DAF=时，△AEF的面积为10，问当tan∠DAF=时，△AEF的面积是多少？31.73462213131323第5页共5页应用探究乐园16．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点A、B、C．景区管委会又开发了风景优美的景点D．经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB=5km．（1）景区管委会准备由景点D向公路口修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长（结果精确到0.1km）；（2）求景点C与景点D之间的距离（结果精确到1km）．（参考数据：=1.73，=2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26。tan75°=3.73．）35