数列培优整理

1数列专题一数列的单调性问题例1：数列na满足352nnan（为实常数），其中*Nn，且数列na为单调递增数列，则求实数的取值范围为_________例2：已知数列}{na的通项公式为1nan，若对于一切1n的自然数，不等式32)1(log121...221aaaaannn恒成立,则实数a的取值范围为________变式1：通项公式为2naann的数列na，若满足12345aaaaa，且1nnaa对8n恒成立，则实数a的取值范围是_____________变式2：数列na满足20122011nnan（*Nn），最小项为第_______项；最大项为第______项变式3：数列na满足172nnan（为实常数，*Nn），最大项为8a，最小项为9a，则实数的取值范围为__________2变式4：数列na的通项公式为knknan2，若对任意正整数n，43aaan均成立，则实数k的取值范围是______________专题二、等差数列的公式和性质的应用1．等差数列的概念：（1）一个数列{}na：若满足1(nnaadd为常数），则数列{}na叫做等差数列（2）等差数列的证明方法：定义法1(nnaadd为常数）或112(2)nnnaaan。（3）等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。2.等差数列主要公式：（1）等差数列的通项公式：*11(1)()naanddnadnN；（2）两项之间的关系式：dmnaamn)(（3）前n项和公式为：1()2nnnaaS1(1)2nnnad3.等差数列主要性质：（1）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（2）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa（3）若{}na是等差数列，232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列，公差D=dn2。（4）在等差数列{}na中，当项数为偶数2n时，SSnd偶奇－；项数为奇数21n时，SSa奇偶中，21(21)nSna中（这里a中即na）；)1(:nnSS偶奇：。（nnanS1212）3（5）若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA，nB,且()nnAfnB，则2121(21)(21)nnnnnnanaAbnbB(21)fn.(6)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组100nnaa或100nnaa确定出前多少项为非负（或非正）；（7）若{}na为等差数列，则数列naC（)1,0cc为等比数列，公比为dC例1.1在等差数列{}na中，18153120aaa，则9102aa（）.A24.B22.C20.D8（2）已知等比数列{ma}中，各项都是正数，且1a，321,22aa成等差数列，则A.12B.12C.322D322（3）等差数列na中，nS是其前n项和，108111,2108SSa，则11S=（）A．－11B．11C.10D．－10例2.（1）若两个等差数列)(27417,}{},{NnnnBABAnbannnnnn且满足和项和分别为的前则的值是1111ba（）A.47B.23C.34D.7178（2）等差数列}{na的前n项和为nS，若1815183,18,6SSSS则（）A.36B.18C.72D.9（3）已知等差数列}{na的公差0d,若4616aa,1082aa,则该数列的前n项和nS的最大值为()A.57B.45C.40D.5例3.（1）在数列}{na中，11a，并且对于任意nN，都有121nnnaaa．（I）证明数列}1{na为等差数列，并求}{na的通项公式；（2）设数列}{1nnaa的前n项和为nT，求使得20111000nT的最小正整数n91078aaaa4例4.设数列{}na的前n项和为*114()4nnSnN，数列{}nb为等差数列，且11ba，2211().abba（1）求数列{}{}nnab和的通项公式；（2）设,{}nnnncabc求数列的前n项和.nT练习1．若{}na为等差数列，nS是其前n项和，且1122π3S，则6tana的值为（）A．3B．3C．3D．332．等差数列46810129111{},120,3naaaaaaaa中若则的值是（）A．14B．15C．16D．173．已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（）A．2B．3C．4D．54．设等差数列na的前n项和为nS,若111a,466aa,则当nS取最小值时,n等于（）A．6B．7C．8D．95．等差数列na中，1554aa，其前n项和为nS，且267,15aSS则（）A．3B．1C．0D．26．等差数列}{na中，01a，前n项和为nS，若1710SS，则数列}{nS中最大项是A．14SB．13S或14SC．14S或15SD．15S7．在na中，115a，1332nnaanN，则该数列中相邻两项的乘积是负数的项是（）A．21a和22aB．22a和23aC．23a和24aD．24a和25a8．设nS是等差数列na的前n项和，已知636S，324nS，61446nSn，则n等于（）A．15B．16C．17D．1859．两个等差数列}{na和}{nb,其前n项和分别为nnTS,,且,327nnTSnn则157202bbaa等于（）A.49B.837C.1479D.2414910．等差数列}{na中,,0,0,020042003200420031aaaaa则使前n项和0nS成立的最大自然数n为（）A.4005B.4006C.4007D.400811．已知等差数列｛na｝满足,0101321aaaa则有（）57.0.0.0.5199310021011aDaaCaaBaaA12.数列na中，1221,3aa,且2n时，有1111nnaa=na2,则（）A.na(32)nB.na(32)n－1C.na22nD.na12n13.（2010山东）已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS．（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）nb211na(nN)，求数列nb的前n项和nT．专题三、等比数列的公式和性质的应用1．等比数列的概念：（1）一个数列{}na：若满足1(nnaqqa为常数），则数列{}na叫做等比数列（2）等比数列的证明方法：定义法1(nnaqqa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。（3）等比中项：若,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。由此得非零实数,,aAb成等比数列abA22.等比数列主要公式（1）等比数列的通项公式：1*11()nnnaaaqqnNq；6（2）两项之间的关系式：mnmnqaa（3）前n项的和公式为：11(1),11,1nnaqqSqnaq或11,11,1nnaaqqqSnaq2.等比数列的判定方法：（1）用定义：11(0)nnnnnaaqaqqaa或为常数，{}na为等比数列（2）等比中项：212nnnaaa（3）通项公式：0nnaABAB{}na为等比数列（4）前n项和：当1q时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab{}na为等比数列3.等比数列的性质：（1）当mnpq时，则有qpnmaaaa..，特别地当2mnp时，则有2.pnmaaa(2)若{}na是等比数列，且公比1q，则数列232,,nnnnnSSSSS，…也是等比数列，公比nqQ；当1q，且n为偶数时，数列232,,nnnnnSSSSS,…是常数数列各项均为0，它不是等比数列.(3)若{}na为等比数列,则数列12naaa,122nnnaaa,21223nnnaaa成等比数列(4)当1q时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，这是等比数列前n项和公式特征.(5)在等比数列{}na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶.且1212321nnnaaaaa(6)列{}na,{}nb为等比数列,则数列{}nka,{}nka,{}kna,{}nnkab{}nnab(k为非零常数)均为等比数列.(7)数列{}na为等比数列,每隔k项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等比数列（8）若{}na是正项等比数列，则数列ncalog为等差数列，公差为logcq。（9）若{}na为等差数列，则数列naC（)1,0cc为等比数列，公比为dC7例1.（1）设等比数列{na}的前n项和为nS，若63SS=3，则69SS=（）A．2B.73C.83D.3（2）设nS为等比数列na的前n项和，2580aa，则52SS()A.11B.5C.8D.11（3）等比数列{}na中，已知121264aaa，则46aa的值为（）A．16B．24C．48D．128（4）已知na是等比数列，41252aa，，则13221nnaaaaaa=（）A.16（n41）B.16（n21）C.332（n41）D.332（n21）（5）三个数,,1,,1,1,122成等比数列又成等差数列nmnm的值为则nmnm22（）A．－1或3B．－3或1C．1或3D．－3或－1(6)等比数列na中，S4=1，S8=3，则a17+a18+a19+a20的值等于（）A.12B.14C.16D.18(7)等比数列na的各项均为正数，且5647aaaa＝18，则3132310logloglogaaa＝（）A．12B．10C．8D．2＋3log5(8）在等比数列na中，已知1231aaa，4562aaa，则该数列前15项的和15S例2．已知等比数列,83,12}{83aaan满足记其前n项和为.nS（1）求数列}{na的通项公式na；（2）若.,93nSn求例3.已知{}na是各项均为正数的等比数列，且1234123411112,32.aaaaaaaa（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设22lognnnbaa，求数列{}nb的前n项和.nT8例4．等比数列an的前n项和为SSSSn，3692，求公比q。练习1.在等比数列na中，11a，公比1q.若12345maaaaaa，则m=（）（A）9（B）10（C）11（D）122.已知na是首项为1的等比数列，ns是na的前n项和，且369ss，则数列1na的前5项和为（）（A）158或5（B）3116或5（C）3116（D）1583．各项均为正数的等比数列{}na的前n项和为nS为，若2nS，314nS，则4nS等于（）.A80.B30.C26.D164.等比数列{}na满足0