数列培优专题

1数列培优专题一．通项的求法（1）利用等差等比的通项公式(2)累加法：1()nnaafn例1．已知数列na满足211a，nnaann211，求na。（3）构造等差或等比1nnapaq或1()nnapafn例2．已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式；例3．已知数列na中，11a,1111()22nnnaa，求na..练习:已知数列}a{n满足）（2n12a2an1nn，且81a4。（1）求321aaa，，；（2）求数列}a{n的通项公式。2（4）利用1(2)1(1)nnSSnSnna例4.设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n（Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT（5）累积法nnanfa)(1转化为)(1nfaann，逐商相乘.例5.已知数列{an}，满足a1=1，1321)1(32nnanaaaa(n≥2)，则{an}的通项1___na12nn（6）倒数变形：1nnnaapaq,两边取倒数后换元转化为qpaann1。例6：已知数列｛an｝满足：1,13111aaaannn，求数列｛an｝的通项公式。3练习：已知数列｛an｝满足：a1＝32，且an＝n1n13nan2nN2an1－－（，）＋－求数列｛an｝的通项公式；（7）递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts解法二(特征根法)：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。若21,xx是特征方程的两个根，当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于A、B的方程组）；当21xx时，数列na的通项为11)(nnxBnAa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于A、B的方程组）。例7.已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。4（8）CBaAaannn21形式递推：例8.已知数列na各项都是正数，且满足：)4(21,110nnnaaaa，)(Nn求数列na的通项公式(9)分式线性递推数列dacbaaannn1（0,,,,cRdcba）其特征方程为dcxbaxx，即0)(2bxadcx，1、若方程有两相异根1s、2s，则21sasann成等比数列，其公比为21csacsa；2、若方程有两等根21ss，则11san成等差数列，其公差为1csac.例9.若00xxf则称0x为)(xf的不动点，函数xxxf32)(（I）求)(xf的不动点（II）数列na满足)(1nnafa，51a，求数列na的通项公式5练习.已知数列}{na满足)(133,0*11Nnaaaannn，则20a=（）A．0B．3C．3D．23三．数列求和1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、错位相减法求和{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.1122nnnSababab例10.求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.4、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa10.5、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例11．求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…66、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）（1）na为等差数列，111111nnnnaaaad（2）nnnnan111例12．求数列,11,,321,211nn的前n项和.例13．等比数列na的各项均为正数，且212326231,9.aaaaa（1）求数列na的通项公式.(2)设31323loglog......log,nnbaaa求数列1nb的前项和.练习71.设函数3()(3)1fxxx，{}na是公差不为0的等差数列，127()()()14fafafa，则127aaa（）A、0B、7C、14D、212.已知数列na的通项公式2245nann，则na的最大项是（）A．1aB．2aC．3aD．4a3.记[]x为不超过实数x的最大整数，例如，[2]2，[1.5]1，[0.3]1。设a为正整数，数列{}nx满足1xa，1[][]()2nnnaxxxnN，现有下列命题：①当5a时，数列{}nx的前3项依次为5,3,2；②对数列{}nx都存在正整数k，当nk时总有nkxx；③当1n时，1nxa；④对某个正整数k，若1kkxx，则[]nxa。其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）？4.对于Nn，将n表示为1101102222kkkknaaaa,当ik时1ia，当01ik时ia为0或1，定义nb如下：在n的上述表示中，当01,aa，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.[中国教#*育&出版^网@]（1）b2+b4+b6+b8=__；（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.5.n2(n≥4)个正数排成n行n列a11a12a13a14……a1na21a22a23a24……a2na31a32a33a34……a3na41a42a43a44……a4n…………………an1an2an3an4……ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,a42=81，a43=163,求a11+a22+a33+…+ann=6.数列na的各项为正数,其前n项和nS满足)1(21nnnaaS,则na=______.7.对于项数为m的有穷数列na，记12max,,...,kkbaaa（1,2,...,km），即kb为12,,...,kaaa中的最大值，并称数列nb是na的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列na的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的na8（2）设nb是na的控制数列，满足1kmkabC（C为常数，1,2,...,km），求证：kkba（1,2,...,km）（3）设100m，常数1,12a，若(1)22(1)nnnaann，nb是na的控制数列，求1122()()baba100100...()ba8.已知各项均为正数的两个数列{}na和{}nb满足：221nnnnnbabaa，*Nn，（1）设nnnabb11，*Nn，求证：数列2nnba是等差数列；（2）设nnnabb21，*Nn，且{}na是等比数列，求1a和1b的值．