实验班培优--数列专题

1新源二中013-2014学年高一数学培优讲义及练习题复习要求1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.【考点透视】1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.【实战演练】考点1数列的递推关系式的理解与应用1、数列na中，12a，1nnaacn（c是常数，123n，，，），且123aaa，，成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求na的通项公式．思路启迪：（1）由123aaa，，成公比不为1的等比数列列方程求c；（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出na与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.2、在数列na中，12a，1431nnaan，n*N．（1）证明数列nan是等比数列；（2）求数列na的前n项和nS；23、已知数列{na}中，112nnaa（n≥2，nN），（1）若531a，数列}{nb满足11nnab（Nn），求证数列{nb}是等差数列；（2）若531a，求数列{na}中的最大项与最小项，并说明理由；4、已知数列.2,1,12,3211naaaaannnn的首项（Ⅰ）证明：数列11na是等比数列；（Ⅱ）求数列.nnSnan项和的前5.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}na中，11111,(1)2nnnnaaan（I）设nnabn，求数列{}nb的通项公式（II）求数列{}na的前n项和nS评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。36.（2009陕西卷文）已知数列}na满足，*11212,,2nnnaaaaanN’＋2＝＝.令1nnnbaa，证明：{}nb是等比数列；(Ⅱ)求}na的通项公式。7.（本小题满分12分）在数列{}na中，11a，2112(1)nnaan。（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）令112nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nS。（Ⅲ）求数列{}na的前n项和nT。考点2数列的通项na与前n项和nS之间的关系与应用1、正数数列{an}的前n项和为Sn，且1aS2nn，求：（1）数列{an}的通项公式；（2）设1nnnaa1b，求数列{bn}的前n项的和为bn（1）涉及到an及Sn的递推关系，一般都用an=Sn-Sn-1（n≥2）消元化归。注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1，n+1等去代替n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值。42、已知数列}{na的前n项和为nS，且满足)(nSSannn，a．（Ⅰ）求证：nS是等差数列；（Ⅱ）求na的表达式；（Ⅲ）若)()(nanbnn，求证：nbbb3、已知数列na的前n项和为nS，411a，且*),2(122211NnnaSSnnn.数列nb满足431b,且*),2(31Nnnnbbnn.（1）求证：数列na为等差数列；（2）求证：数列nnab为等比数列；（3）求数列}{nb的通项公式以及前n项和nT.4、设数列}{na的前n项和为nS，且满足2nnSa，n=1,2,3,…．（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）若数列}{nb满足11b，且nnnabb1，求数列}{nb的通项公式55、设数列nnnnSbbaa)1(2:}{满足（I）当}2{:,21nnnab求证时是等比数列；（II）求na通项公式6.（2009全国卷Ⅱ理）设数列{}na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa（I）设12nnnbaa，证明数列{}nb是等比数列（II）求数列{}na的通项公式。7．设数列nnnnSbbaa)1(2:}{满足（I）当}2{:,21nnnab求证时是等比数列；（II）求na通项公式.68.（本大题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a，.*,31NnSannn（Ⅰ）设nnnSb3，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若*,,1Nnaann求a的取值范围.考点3正确理解和运用数列的概念与通项公式1、已知数列na是等差数列，256,18aa；数列nb的前n项和是nT，且112nnTb．(Ⅰ)求数列na的通项公式；(Ⅱ)求证：数列nb是等比数列；(Ⅲ)记nnncab，求nc的前n项和nS2、已知数列na是等差数列，nb是等比数列，且112,ab454b,12323aaabb,(I)求数列nb的通项公式；（II）求数列na的前10项和10S。3、设{an}是等差数列，nan)21(b，已知b1+b2+b3=821，b1b2b3=81，求等差数列的通项an。74、设nS是公差不为0的等差数列{}na的前n项和，且124,,SSS成等比数列.（Ⅰ）求21aa的值；（Ⅱ）若59a，求na及nS的表达式.5、已知数列{an}和{bn}满足：)213()1(,432,11nabnaaannnnn，其中λ为实数，n为正整数（Ⅰ）证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列；（Ⅲ）设Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn－12?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力.（满分12分）培优练习1、已知数列na的前n项和为nS，且585nnSna，*nN(1)证明：1na是等比数列；(2)求数列nS的通项公式，并求出使得1nnSS成立的最小正整数n.82、已知{}na是各项均为正数的等比数列，且1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设21()nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT。【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。（1）设出公比根据条件列出关于1a与d的方程求得1a与d，可求得数列的通项公式。（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。3、已知na是首项为19，公差为-2的等差数列，nS为na的前n项和.（Ⅰ）求通项na及nS；（Ⅱ）设nnba是首项为1，公比为3的等比数列，求数列nb的通项公式及其前n项和nT.4、已知等差数列na满足：37a，5726aa.na的前n项和为nS.（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令211nnba（nN）,求数列nb的前n项和nT.95、已知||na为等差数列，且36a，60a。（Ⅰ）求||na的通项公式；（Ⅱ）若等差数列||nb满足18b，2123baaa，求||nb的前n项和公式6、6、已知等差数列{}na的前3项和为6，前8项和为-4。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；w_w（Ⅱ）设1*(4)(0,)nnnbaqqnN，求数列{}nb的前n项和nS7、已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS．（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令bn=211na(nN*)，求数列nb的前n项和nT．[来源:学&科&网]【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。108、已知等差数列{}na前三项的和为3，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若2a，3a，1a成等比数列，求数列{||}na的前n项和.9、已知数列{an}的前n项和knnSn221，*Nk,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列}229{nna的前n项和Tn。10、已知}{na是等差数列，其前n项和为Sn，}{nb是等比数列，且27,24411baba，1044bS.[来源:Z|xx|k.Com]（Ⅰ）求数列}{na与}{nb的通项公式；（Ⅱ）记nnnnbababaT1211，*Nn，证明nnnbaT10212（*Nn）.