微分几何 陈维桓 第三章讲稿

目录第三章曲面的第一基本形式...................................................................................................................27§3.1正则参数曲面.............................................................................................................................27一、参数曲面...............................................................................................................................27二、参数变换...............................................................................................................................28三、正则曲面...............................................................................................................................29四、正则曲面的例子...................................................................................................................30§3.2切平面和法线.............................................................................................................................33一、曲面的切空间，切平面和法线...........................................................................................33二、连续可微函数的等值面.......................................................................................................34三、微分dr的几何意义.............................................................................................................35§3.3第一基本形式.............................................................................................................................35§3.4曲面上正交参数曲线网的存在性.............................................................................................38§3.5保长对应和保角对应...............................................................................................................40一、曲面到曲面的连续可微映射...............................................................................................40二、切映射...................................................................................................................................40三、保长对应(等距对应)............................................................................................................42四、保角对应(共形对应)............................................................................................................44§3.6可展曲面.....................................................................................................................................4527第三章曲面的第一基本形式本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平面，单位法向量，第一基本形式，正交参数网，等距对应和共形对应，可展曲面计划学时：12学时，含习题课4学时.难点：正交参数网的存在性，等距对应和共形对应§3.1正则参数曲面一、参数曲面从平面2R的一个区域(region，即连通开集)D到3E中的一个连续映射3:()rDSrDE的象集()SrD称为3E中的一个参数曲面(parameterizedsurface).在3E中取定正交标架{;,,Oij}k，建立笛卡尔右手直角坐标系.则参数曲面S可以通过参数(parameter)(,)uv表示成参数方程(,),(,),(,),xxuvyyuvzzuv2(,)uvDR，(1.1)或写成向量参数方程(,)(,)(,)(,)(,),(,),(,)rruvxuviyuvjzuvkxuvyuvzuv，(,)uv.(1.2)为了使用微积分工具，本书中要求向量函数(,)ruv都是3次以上连续可微的.u-曲线：让0vv固定，u变化，向量0(,)ruv的终点描出的轨迹.v-曲线，参数曲线网.直观上，参数曲面S就是将平面中的区域D经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间3E中的结果.曲纹坐标()(,)()pSuvD，即(,)(,)Opuvruv.一般来说，由(1.1)给出的连续映射并不能保证曲面上的点(,)puv与该点的参数(,)uv之间是一一对应的.为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件.定义设:(,)Srruv为3E中的参数曲面.如果在00(,)uv点，两条参数曲线的切向量0000(,)(,)uuvrruvu，0000(,)(,)vuvrruvv(1.3)Dr图3.1xyzuv00(,)uv00(,)ruv0uu0vv28线性无关，即0000(,)0000(,):|[(,)][(,)]0uvuvuvuvrruvrrruvruv，则称00(,)uv或000(,)puv是S的正则点(regularpoint).如果S上每一点都是正则点，则称S是正则参数曲面.以下总假定S是正则曲面.在正则曲面上每一点000(,)Puv，由于0000(,)(,),,0uuuuuuuvvvvvvvuvyzxzxyrruvyzxzxy，(1.4)通过重新选取正交标架;,,Oijk，不妨设0000(,)(,)(,):0(,)uuvvuvuvxyxyxyuv.根据反函数定理，存在00(,)uv的邻域UD，使得(,),(,)xxuvyyuv有连续可微的反函数(,)ufxy，(,)vgxy，即有((,),(,)),((,),(,))xfxygxyxyfxygxyy.此时有000000(,)(,),(,)xyxuvyuv的邻域2VR和同胚映射:VU.从而有连续映射:()|UrrVrUSS.于是S在000(,)Puv的邻域|US内可用参数方程表示为(,)(,),(,),,((,),(,))rxyruxyvxyxyzfxygxy，(*)或表示为一个二元函数(,)zFxy的图像，其中(,)(,),(,)zFxyzfxygxy.(1.5)上式称为曲面片|US的Monge形式，或称为|US的显式方程.从(*)式可见:|:(,),,((,),(,))UrVSxyxyzfxygxy是一一对应，从而1:()|UrrUrUSS也是一一对应.这说明正则性条件至少保证了:rDS局部是一一对应.为了确定起见，以下约定正则曲面()SrD与其定义域D之间总是一一对应的，从而参数(,)uv可以作为曲面上点(,)puv的曲纹坐标.反之，由显式方程(,)zzxy表示的曲面总是正则的：如果(,),,(,)rrxyrxyzxy，(1.6)则1,0,xxrz，0,1,yyzr，从而,,10xyxyrrzz.二、参数变换曲面的定向(orientation)：对于曲面:(,)Srruv，规定uvrr所指的一侧为S的正侧.由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换(transformationofparameter)时，要求参数变换(,),(,)uuuvvvuv(1.8)满足：(1)(,),(,)uuvvuv是(,)uv的3次以上连续可微函数；(2)(,)(,)uvuv处处不为零.这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变换.当(,)0(,)uvuv时，称为保持定向(preservetheorientation)的参数变换.29根据复合函数的求导法则，在新的参数下，uuvuvrrruu，vuvuvrrrvv.因此(,)(,)uvuvuvuvuvuvrrrrrruvvuuv.(1.10)上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持不变.三、正则曲面正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的.但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面.将3E与3R等同，赋予普通的度量拓扑，即以3R的标准度量确定的拓扑.定义1.1设S是33ER的一个子集，具有相对拓扑.如果对任意一点pS，存在p在S中的一个邻域U(UVS，其中V是p在3E中的邻域)，和2R中的一个区域D，以及同胚::(,)(,)(,),(,),(,)rDUuvruvxuvyuvzuv，使得(,)ruv是3E中一个正则参数曲面()rD，则称S是3E中的一张正则曲面(regularsurface)，简称曲面.上述的邻域U和同胚r的逆映射1r合在一起，将(,)U称为该曲面的一个局部参数化(localparameterization)，或坐标卡(coordinatechart).注S的拓扑是作为3E的子集从3E诱导的相对拓扑，即作为3E的拓扑子空间的拓扑.如果两个局部参数化11(,)U，22(,)U满足12UU，那么正则参数曲面12UU就有两个参数表示111(,)ruv和222(,)ruv.由此自然产生了参数变换211122121122:()():(,)(,)rUUUUuvuv.利用正则参数曲面12UU的3次以上连续可微性和正则性，可以证明