材料力学第五章-1

§5-1纯弯曲§5-2横力弯曲时的正应力§5-3横力弯曲时的切应力§5-4提高弯曲强度第5章弯曲应力§5-1纯弯曲1、弯曲构件横截面上的应力当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩M，又有剪力FS.弯矩M正应力s剪力FS切应力t内力mmFSMmmFStmmMs只有与正应力有关的法向内力元素dFN=sdA才能合成弯矩.只有与切应力有关的切向内力元素dFS=tdA才能合成剪力；FSxFFxMFaFalaF§5-1纯弯曲2、纯弯曲常量MF0S纯弯曲:纯弯曲:横力弯曲:常量MF0S)(0SxMMF§5-1纯弯曲若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.若梁在某段内各横截面既有弯矩又有剪力，则该段梁的弯曲就称为横力弯曲（或剪力弯曲）.3、变形几何关系§5-1纯弯曲由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。(1)观察实验：abcdabcdMM（2）变形规律：横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。（3）假设：§5-1纯弯曲弯曲平面假设和纵向纤维假设中性轴§5-1纯弯曲弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某一轴转动了一个角度。凹入一侧纤维缩短;突出一侧纤维伸长根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层------称为中性层。中性层与横截面的交线－－中性轴纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。§5-1纯弯曲中性层中性轴mabmanbnmmnna1a1b1b1§5-1纯弯曲（4）线应变的变化规律：dx11bbbbybb12ddOObbx11()dbby——中性层的曲率半径Cb1b1O1O2d}dxmmnna1a1b1b1§5-1纯弯曲ysyEE根据胡克定律smax发生在截面上、下边缘，中性轴上各点的正应力为零。§5-1纯弯曲直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.zOyzdAsdAyx中性轴对称轴4、物理关系：由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。§5-1纯弯曲?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径??yEσ0dNAAFs0dAyAzMsMAyMAzds§5-1纯弯曲zdAsdAsyNdFyMdzMdAσd横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.内力与外力相平衡可得纯弯曲时截面右侧自由弯矩M作用！5、静力方面：由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。zOyzdAsdAyxM0dNAAFsd0zASyA即中性轴z是形心轴→确定中性轴位置syEEd0AEyA§5-1纯弯曲zOyzdAsdAyxM对Z轴静矩为00dAyAzMsd0AEyzA自动满足！syEEd0yzAIyzAzOyzdAsdAyx§5-1纯弯曲由于y轴是截面的对称轴MAyMAzdszEIM1弯曲刚度syEEzOyzdAsdAyxMEIAyEzAd2d.2dzAIyAzIMys§5-1纯弯曲曲率纯弯曲时正应力的计算公式中性轴z为横截面的对称轴时zIMymaxmaxs(抗弯截面系数)maxyIMzzWMyzzybh6、最大正应力§5-1纯弯曲中性轴z不是横截面的对称轴时zIMymax,tmaxt,szIMymaxc,maxc,sOzyyt，maxyc，max§5-1纯弯曲简单截面的弯曲截面系数⑴矩形截面123bhIz62/2bhhIWzz123hbIy62/2hbbIWyy⑵圆形截面64π4dIIyz32π2/2/3ddIdIWWyzyzzybhyzd§5-1纯弯曲⑶空心圆截面4444164π64πDdDIIyzDd/yzzWDDIW43132π2/(4)型钢截面：参见型钢表DOdyz§5-1纯弯曲§5-2横力弯曲观察变形特征:1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立!§5-2横力弯曲时的正应力当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.更精确的弹性力学结果.对于细长梁（l/h5），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。zIyxM)(sFl4lF§5-2横力弯曲时的正应力xMFaFalaF弯矩随截面位置变化zMyIs弯矩为常数截面关于中性轴对称zctWMmaxmaxmaxss截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)ZmaxmaxmaxIyMs横力弯曲梁上的最大正应力§5-2横力弯曲时的正应力FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFSx90kN90kNmkN605.0160190CM1.求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832.51218.012.012bhIMPa7.61Pa107.6110832.510)302180(10606533ZKCKIyMs（压应力）解：xm67.5kN8/2qlM2.C截面上K点正应力例§5-2横力弯曲时的正应力BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN3.C截面最大正应力C截面弯矩mkN60CM45Zm10832.5IMPa55.92Pa1055.9210832.510218010606533ZmaxmaxIyMCCsxm67.5kN8/2qlM§5-2横力弯曲时的正应力BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN4.全梁最大正应力最大弯矩mkN5.67maxM45m10832.5zIMPa17.104Pa1017.10410832.5102180105.676533ZmaxmaxmaxIyMsxm67.5kN8/2qlM§5-2横力弯曲时的正应力BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN5.C截面曲率半径ρC截面弯矩mkN60CM45Zm10832.5Im4.194106010832.510200359CZCMEIEIM1xm67.5kN8/2qlM§5-2横力弯曲时的正应力例：求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知：,/6,1mkNqml№10槽钢q解：1）画弯矩图kNmqlM35.0||2max2）查型钢表：cmycmIcmbz52.1,6.25,8.414cmy28.352.18.423）求应力：1maxyIMzts6106.2552.13000MPa1782maxyIMzcs6106.2528.33000MPa384MPaMPact384,178maxmaxssbz1yy2yσcmaxσtmaxbz1yy2yM有错误吗？maxmax[]zMWssmaxzzIWy强度条件:(材料的许用弯曲正应力)max[]ss中性轴为横截面对称轴的等直梁§5-2横力弯曲时的正应力-强度设计拉、压强度不相等的脆性材料(如铸铁)制成的梁][tmax,tss][cmax,cssOzyyt，maxyc，max][tmaxt,maxmaxt,sszIyM][cmaxc,maxmaxc,sszIyM][][ctmaxc,maxt,ssyy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为§5-2横力弯曲时的正应力-强度设计图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa。B5m10mAFCFAFB12.521166560za375kN.mM解：1、作弯矩图如上，mkN3754maxFlM正应力计算及强度例题12、查型钢表3cm2342zW4cm65586zIMPa160mm102342mmN10375336maxmaxzWMs6max4456037510Nmm21mm26558610mm148MPaaazMyIs56a号工字钢3、求正应力12.521166560za正应力计算及强度例题1跨长l=2m的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d，并校核梁的强度。解根据截面最为合理的要求][][ct21ssyy319030170mmy1m2mBAF=80kNCy1y2z60220yO280d正应力计算及强度例题2mm24d462323mm102.9940220601260220100220241222024zI截面对中性轴的惯性矩为（平行移轴公式）y1y2z60220yO280d12206030(28060)(60110)70(28060)22060yydd图形形心坐标:mm正应力计算及强度例题2z0abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22mkN4042804maxFlMMPa7.84mm102.99mm210mmN10404662maxmaxc,zIyMsMPa90][cs梁上的最大弯矩满足强度要求!y1y2z60220yO280dOsc,maxst,maxz正应力计算及强度例题2图示槽形截面铸铁梁，已知：b=2m，截面对中性轴的惯性矩Iz=5493104mm4，铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试求梁的许可荷载[F]。解：1、求支反力zyC形心86134204018012020BFCbq=F/bDbbAFBFAFFB474FFA正应力计算及强度例题3梁的弯矩图:4maxFbM2maxFbM发生在截面C发生在截面BzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4BFCbq=F/bDbbA正应力计算及强度例题32、计算最大拉、压正应力压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面:压拉B截面:拉压正应力计算及强度例题3MPa30mm105493mm86mm1022/4332maxt,FIyMzBs考虑截面B：MPa90mm105493mm341mm1024/4431maxc,FIyMzBskN2.19FkN8.73FzyC形心86134204018012020正应力计算及强度例题3Fb/2Fb/4考虑截面C：梁的强度由截面B上的最大拉应力控制MPa30mm105493mm134mm1024/4431maxt,FIyMzCskN2.19][FkN6.24F正应力计算及强度例题3Fb/2Fb/4zyC形心86134204018012020图示圆截面外伸梁，材料的许用应力[s]=120MPa。试校核梁正应力强度。解：（1）求支反力FA=17.5kNFB=32.5kN（2）作弯矩图：确定危险截面q=5kN/mF=10k