含参量积分习题

含参量积分习题课2006/10/30P178EX4应用对参量的微分法求积分。202ln12cosaxadx2222201lnsincosaxbxdx定理19.3（可微性）,,,,,,.ddccfxyfxyxRabcddfxydyfxydydxx若函数与其偏导数都在矩形区域上连续，则202ln12cosaxadxP178EX4应用对参量的微分法求积分。22,ln(12cos),2cos2,.12cosafaxaxaxafaxaxa解：此处22212cos12(1)0axaaaa1a当时，注意到,,110,afaxfax所以与在，上连续.202ln12cosaxadx202cos2,1,112cosxaIadxaaxa根据可微性，有010,.aIaIac当时，有00,1,10,01.IIacIaa因为且在上连续，所以即11,aba当时，令则有202ln12cosaxadx2021ln1cosIaxdxbb2201ln12cosbxbdxb2201ln12coslnbxbdxb02ln2lnba0201ln21cos0lnsinln2),10.2IxdxtdtI又（利用类似地得202ln12cosaxadx0,12ln,1aIaaa综上可得，20ln12cos:axadx泊松积分.2222201lnsincosaxbxdx19.3.分几种情况考虑，利用定理(1)0,0;(2)0,0.abab(3)04,0.ababab22222202ln02lnsincos.axbxdxabab综合得20lnsinln2)2tdt（利用P178EX5应用积分号下的积分法求积分。1012cosln0lnbaxxIdxbaxx1cosln01.lnbaxxxxxx观察到在和处无定义101limcosln-ln1limcosln0lnbaxbaxxxbaxxxxxx且,，先延拓被积函数.1cosln,01ln,10,,0.baxxxxxgxbaxx构造函数11001coslnbyaIgxdxxdydxx则有101cosln.byadxxdyx1cosln,01,,0,0yxxfxyxx令11002120,0,1,,,1122coslnln.222bbaabyafxyabIdxfxydydyfxydxbbdyxdxxaa则在上连续，根据定理19.6交换积分次序得P189EX1关于一致收敛性的证明.03xyxedyi,ii0,abb在上一致收敛在上不一致收敛.i,00,0),(0)xyayayaxyaaxbyxebebedyaMxedyaba由于对有且收敛（，由判别法知在上一致收敛.0,0ii01,00,00xyaxyxyxxxedyxxbxexbyxedyb+0因为在不连续，而在内连续，由连续性定理知在，上不一致收敛.1014ln,1.xydybbb在上一致收敛11,01xbbyb考虑对有lnlnlnlnlnlnln,xyxyxyby.M用判别法105(-,)1.pdxbbx在上一致收敛01,1xybb由于对有01111ybbbdxxxx1且收敛，所以由10(-,)1pdxMbbx判别法在上一致收敛.P189EX4求下列积分.2222201axbxeedxx2222222200axbxbxyaeedxdxedyx222[0,),xyeab在上连续，易证2220,xyedyab＋在上一致收敛.19.11根据定理交换积分顺序得2222222200axbxbxyaeedxdyedxx22201bxyadyedxybay0sin2txtedtt是本节例5的特殊形式，参照例5来解.201cos3xxyedxx201cossin0yxyxtdtyxx由知20001cossinyxxxyxtedxdxedtxt验证定理19.11的条件并交换积分顺序得20001cossinyxxxyxtedxdtedxxt201arctanarctanln102ytdtyyyy2001arctann(12.l),yyyyyy由于原积分是偶函数，从而当时，上述结果也正确，当时显然计算结果也满足，故对任一都有，原式