01基础物理学第三版第01章刚体的转动-1

第一章刚体的转动学习目标1.掌握力矩、转动惯量、转动动能、角动量等概念；并且熟练掌握转动定律、角动量守恒定律及其应用。2.熟悉刚体定轴转动的角量描述。3.了解进动产生的原因。本章主要研究刚体（rigidbody）这一理想模型的定轴转动规律。这一部分内容是以质点运动学和动力学为基础的。质点运动学和动力学的有关知识的简要回顾，请先参考本章最后的附录。更为详细的内容请参考有关教科书。第一章刚体的转动第一节刚体的定轴转动刚体(rigidbody)：在运动过程中形状和大小都不变的物体。研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中，任意两质点之间的相对位置保持不变的质点系。刚体的平动(translation)：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。这样的运动可以用质点动力学的方法来处理。转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+一、刚体定轴转动的角量描述转动(rotation)：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。转动又分定轴转动和非定轴转动。刚体的一般运动：质心的平动绕质心的转动+定轴(fixed-axis)转动：转轴固定不动的转动。第一节刚体的定轴转动OxP角坐标：，单位是弧度，rad角位移：用角量来描写转动：定轴处O点与刚体上任一点P之间的位置矢量处于处，经过t时间后，该矢径转过角度：OPz第一节刚体的定轴转动角速度(AngularVelocity)角速度的大小：0dlimdttt角速度的方向：由右手螺旋法则确定。右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的大拇指即为角速度的方向。ddktOxPz,k第一节刚体的定轴转动角加速度(AngularAcceleration)ddt若，沿Z轴正方向d0dt22ddddkkttOxPz,k第一节刚体的定轴转动二、匀变速转动基本公式刚体作匀变速转动时，其运动方程与匀变速直线运动的运动方程相似，其角位移、角速度和角加速度之间有下列关系：02002200122ttt第一节刚体的定轴转动对于定轴转动2tnarar1.角速度与线速度的关系三、角量和线量的关系2.角加速度与线加速度的关系vr第一节刚体的定轴转动1.刚体定轴转动具有什么特点？2.挂钟表针的角速度方向指向墙里还是墙外？思考第一节刚体的定轴转动一飞轮作匀变速转动，3s内转过234rad，角速度在3s末达到108rad/s。求角加速度和初角速度。由匀变速转动运动方程：2012tt0t消去0，并代入数值，可得角加速度：2222()2(1083234)20rad/s3tt进而可求得初角速度：010820348rad/st解例第一节刚体的定轴转动要改变刚体的转动状态，不仅要有力，而且与力的大小、方向和作用点都有关。力矩(momentofforce)定义sinMFdFr力矩是矢量：MrF单位：N·mMφFdPr一、力矩第二节力矩转动定律注意力矩的方向！如果力F的方向不在转动平面内，可以沿平行和垂直定轴两个方向分解。平行于轴的力部产生力矩。力矩方向沿定轴，可用正、负表示方向。MφFdPr第二节力矩转动定律0,0iiMF0,0iiMFFFFF一对相互作用力对同一转轴的力距之和为零。几个力同时作用在刚体上，它们的合力矩就是各力的力矩的矢量和或代数和。jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM二、刚体的转动定律第二节力矩转动定律sinrFMFmamrtt1）单个质点与转轴刚性连接mMmr2MrFmr2tOrmzFtFnFMMiFif把刚体看作一个质点系，对其上P处的第i个质点mi，分析其受力：合外力矩：iiFrM合内力矩：0iifr加速度：iitinaaa()iiiiiitinFfmamaa应用牛顿运动定律，进行化简：dPir第二节力矩转动定律2）刚体2()iiiiiiiitiniiiiitirFrfrmaarFmramr对上式两边操作后，再对所有质点求和，并注意到，可以得到：ir0iinra2iiImr其中I为转动惯量(momentofinertia)：定轴转动定律：MI第二节力矩转动定律刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.2iiImr通常刚体均为连续体，则：22ddIrmrVI的单位：kg·m2。转动惯量与刚体对给定转轴的质量分布有关。转动惯量与转轴的位置有关。转动惯量具有可相加性。三、转动惯量第二节力矩转动定律竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？求质量为m、长为l的均匀细棒对下面（1）、（2）和（3）所给定的转轴的转动惯量。（1）转轴通过棒的中心并与棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并与棒垂直；（3）转轴通过棒上离中心为d的一点并与棒垂直。oxzdxdmx2dIrmdddmmxxl233222211d312llllIxxxl2112Iml解例（1）在x处取dm，dm长为dx。第二节力矩转动定律2201d3lIxxml213Iml（2）转轴通过棒的一端并与棒垂直，此时（1）中的坐标原点取在棒端，转动惯量的计算只改变积分上下限，得2221d12Ixxmlmdld2ld2(3)转轴通过棒上离中心为d的一点并与棒垂直取转轴与棒的交点为坐标原点O。这时的积分上下限变化了：2213Imlmd平行轴定理（parallelaxistheorem）：2CIImd第二节力矩转动定律一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。ordrRd2dmrr2dJrm32drr302dRJrr42122RmR解例第二节力矩转动定律右侧列出了一些刚体模型的转动惯量第二节力矩转动定律质量m=16kg、半径为R=0.15m的实心滑轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为m的物体。求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。maTmg212TRImRRammR'TmgT解例注意到本题中的滑轮是有质量的，是典型的刚体模型，在做定轴转动。处理刚体问题也是需要先作受力分析。然后对系统中的刚体和质点分别列出方程。第二节力矩转动定律116540N2T2211512.5m22hat-28105ms288mgamMmmR'TmgT第二节力矩转动定律1.在讨论刚体定轴转动定律时是否考虑内力的力矩？2.如果一个刚体所受的合外力为零，其合外力矩也一定为零？如果一个刚体所受的合外力矩为零，其合外力也一定为零？3.转动惯量与质量分布有关系吗？4.你做什么姿势和对什么样的轴，转动惯量最小？思考第二节力矩转动定律一、力矩的功dcosdcosdsinddAFrFrFrM21dAM功率为：ddddANMMttFrddr第三节力矩的功定轴转动的动能定理刚体中任一质元mi动能：2222121iiiirmvm因此，刚体的转动动能：22222121iiiikrmrmE212kEIivir二、转动动能第三节力矩的功定轴转动的动能定理ddddddAMIIt21222111dd22AAIII合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。2122211122kkAIIEE对于刚体，同样要考虑保守力、势能、机械能等。三、刚体定轴转动中的动能定理第三节力矩的功定轴转动的动能定理一质量为M、半径R的实心滑轮,，一根细绳绕在其上，绳端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？2201122TRII2201122mghThmvmvRhRvMmR'TmgTh解例本题中绳子中的拉力对刚体做正功，对下落的重物作负功。第三节力矩的功定轴转动的动能定理mMmghv22解得：2000,0,2vIMR也可以从物体的重力势能减少量转化为刚体和重物的动能角度来考虑：221122mghImvRvMmR'TmgTh第三节力矩的功定轴转动的动能定理1.为什么刚体定轴转动的转动动能的变化只是与外力矩有关而与内力矩无关？思考第三节力矩的功定轴转动的动能定理角动量(angularmomentum)是用来描述物体绕某定点（轴）旋转的机械运动量。odrpmv质点对o点的角动量：sinLpdmvrLrprmv角动量是矢量：一、质点的角动量和刚体的角动量第四节角动量角动量守恒定律odrpmv角动量的方向、单位Lrprmv角动量单位：kg·m2/sL第四节角动量角动量守恒定律刚体对定轴的角动量2iiiiiiLmvrmr2iiLmrI方向沿定轴，可用正、负表示方向。LivrimL对刚体中质元mi的角动量：因此整个刚体的角动量：LI第四节角动量角动量守恒定律转动定律的另一形式：转动定律简单形变：MIddddLMIItt作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量随时间的变化率。——适用范围更广！ddLMt二、角动量定理第四节角动量角动量守恒定律Mdt=dL冲量矩、角动量定理ddLMt角动量定理：合外力矩的冲量矩等于系统角动量的增量。2121dttMtLL21dttMt是力矩在t1到t2时间内的冲量矩。第四节角动量角动量守恒定律212211LLII若系统合外力矩为零，则系统的角动量守恒。——自然界重要的普遍规律d0,0,const.dLMLt三、角动量守恒定律第四节角动量角动量守恒定律一长为l，质量为M的杆可绕支点O自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内，若棒偏转角为30°,问子弹的初速度为多少?角动量守恒（过程1）2231malMmva机械能守恒（过程2）222111cos301cos30232lMlmamgaMgoalv30°由此即可求得子弹的初速度v.教材例题1-6也是应用角动量守恒的例子。解例第四节角动量角动量守恒定律[例]一人坐在可以自由旋转的平台上的轴线处，双手各执一哑铃。设哑铃的质量m=2.0kg，两铃相距2l1=150cm时，平台角速度1=2rad/s。当将两铃间距离减为2l2=80cm时，平台角速度增为2=3rad/s。设人与平台对于转轴的转动惯量不变，求人所做的功。解：对人、哑铃和平台系统，在哑铃距离减小的过程中，合外力矩为零，系统角动量守恒221122(2)(2)ImlIml22211122()2()Imll设人与平台对转轴的转动惯量为J，在哑铃间距减小的过程中，人所做的功就等于系统转动动能的增量，2222221111(2)(2)22AImlIml)())((21212122222112mlmlJ)]())([(2121222221222121llllm)(222121llmJ7.47])28.0()25.1[(32222[例4]荡秋千原理分析（证明′）分析：如图示，用m表示人的质心，一次完整的摆动由以下过程组成。1→2：在摆角为时，人迅速蹲下，使有效摆长Om由l变为l。2→3：人由静止下摆到摆绳几乎铅直的位置，速度为v（水平）。对（人+地球）系统，只有重力作功，机械能守恒。