Chp1s4

1.4矢量场的环量和旋度斯托克斯定理一.矢量场的环量（环流）1.矢量场做功：llFdP1P22.环流的定义：cclAΓdcosdlA直角系中czyxczAyAxA)ddd(dlA圆柱系中czczAAA)ddd(dlA球系中crcrArArA)dsindd(dlA3环量的物理意义：0dclA——表明c包围涡旋源0dclA——表明c不包含涡旋源水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源例：流速场4.环量面密度在矢量场A中任取一点M，在M处作一面元，n为面元的法线方向，n与c构成右手螺旋关系。闭和曲线趋于M点时的极限值称为矢量场A在M处沿方向n的环量面密度。上面的算式与积分路径的选取有关！SSScMScMScMS123dlimdlimdlim)(0)(0)(0lAlAlAScMSlAndlim)(0SSMAc1c2c3n3n2nS二.矢量场的旋度1.旋度的定义：•旋度是一个矢量•模值等于环量面密度的最大值•方向为使环量面密度取得最大值的面元法线方向}dlimmax{rot)(0ScMSlAnA为的法向单位矢量(与c成右手螺旋关系）nSMAc1c2c3n3n2nS2.旋度的数学计算式：设M点在环路1-2-3-4-5-6-1所张的一个面上，该面在直角系三个坐标面上的投影分别为yM123456xzSzSxSycy—M561M—Sy由图可知：zyxcccclAlAlAlAddddcz—M123M—Szcx—M345M—SxM123456xyzSzSxSyMMcx345ddlAlAAxAyAzMzyyAAyAzzy)(zyzAzyyAyzxyzSzAyA)(zAyzzAAzyy)(zAyASyzxcSxxlAdlim0同理可得：xAzASzxycSyylAdlim0yAxASxyzcSzzlAdlim0)()()(rotyAxAxAzAzAyAxyzzxyyzxaaaA)()(zzyyxxzyxAAAzyxaaaaaazyxzyxAAAzyxaaaA在正交坐标系中3322113213322113211AhAhAheeehhhhhhaaaA注意：行列式只能对第一行展开，展开中对第三行元素求导AArot柱坐标：zzAAAzaaaA1zzAAAzaaa球坐标：ArrAArrrrrrsinsinsin12aaaAArrAArrrrrsinsinsin2aaa矢量场旋度的例子具有两个相同旋转方向的旋的矢量场矢量场旋度的例子具有两个相反旋转方向的旋的矢量场求A=axx2+ayy2+azz2沿着xy面上的一个闭合回路c的线积分。如图所示，再计算A。P(2,)2y2=xOyx解：回路c在xOy面上，dz=00224202202d)2(dddyyyyyyxxclAyyxxddd22lA0236203203)33(33yyyx=0例:A=axx2+ayy2+azz2dzydxddzyxaaalAB=AxBx+AyBy+AzBz讨论：A=axx2+ayy2+azz2=arr2是辐射状的场，可以证明，F=arf(r)这类场必定是无旋的。A=axx2+ayy2+azz2P(2,)2y2=xOyx0yAxAxAzAzAyAxyzzxyyzx)(a)(a)(a(x2+y2+z2=r2)0222zyxzyxzyxaaaA3.旋度的性质：a.一个矢量场的旋度构成一个新的矢量场。b.旋度不为零的点有产生矢量场环流的能力(有旋场);旋度等于零的点没有产生矢量场环流的能力(无旋场)。c.旋度具有环流面密度的量纲。A)A(CCAA)A(4.常用的旋度运算恒等式(A+B)=A+B0A0三.斯托克斯（stockes)定理Scd)(dSAlA证明：将c围成的面分成许多面元则有nicci1ddlAlAicSiSiilAaAdlimrot0即iciSAlArotdS1drotdSASAlAnniic1.24习题zyxzyxAAAzyxaaaAzuyuxuuugradzyxaaazAyAxAzyxAScd)(dSAlAddASAS